摘要：伟大的发明通常可以分为两类：一类来自于某个人的奇思妙想，如 同黑夜里的一道闪电，比如对数的发明；更多的则是数十年甚至数百年来，大量智者逐步认 知感悟，最终结出的硕果，微积分即是如此。

数学史话之致敬微积分的先驱者们——从无穷思想到现代分析

牛顿曾对罗伯特·胡克说：

“如果说我看得（比你和笛卡儿）更远，那是因为我站在了 巨人的肩膀上。”

伟大的发明通常可以分为两类：一类来自于某个人的奇思妙想，如 同黑夜里的一道闪电，比如对数的发明；更多的则是数十年甚至数百年来，大量智者逐步认 知感悟，最终结出的硕果，微积分即是如此。

在人类理性探索的长河中，微积分的诞生无疑是最璀璨的里程碑之一。它不仅彻底改变了数学的面貌，更成为解释自然规律、推动科技革命的核心工具。然而，这门伟大的学科并非一蹴而就，而是历经千年积累，由一代代先驱者接力探索的结晶。

人们通常认为微积分是由牛顿与戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 （Gottfried .Wilhelm. Leibniz，1646—1716)在1665年至1675年间创立的。 而微积分的精髓思想（利用极限运算得到与普通有限对象有关的结果） 最初则来源于希腊。因用军事发明对抗罗马侵略者3年多而闻名于世的锡拉丘兹传奇科学家阿基米德（Archimedes，约公元前287-前212)，就是使用极限概念计算各种平面形状和立体结构的面积或体积的先驱之一。 尽管阿基米德从未使用过“极限”一词，但他脑中形成的正是极限思想，我们稍后将给出理由。

阿基米德像

古代的无穷小萌芽

早在公元前 3 世纪，古希腊数学家阿基米德就已触摸到微积分的门槛。当他研究圆的面积时，开创性地使用了 “穷竭法”：将圆分割成无数个内接正多边形，随着多边形边数增加，其面积不断逼近圆的面积。这种 “无限分割、逐步逼近” 的思想，正是积分学的原始形态。

逐步逼近圆面积的内接正多边形

阿基米德用类似方法计算了球体积、抛物线弓形面积等复杂问题，他的手稿中甚至隐含了 “无穷小量” 的概念 —— 尽管出于逻辑严谨性的考虑，他始终用严格的几何证明规避直接使用无穷小。

中世纪的欧洲数学发展相对停滞，但阿拉伯学者和印度数学家在代数与三角学上的贡献，为后来的突破埋下伏笔。16世纪，随着文艺复兴带来的科学复兴，自然哲学的蓬勃发展催生了对精确描述运动和变化的迫切需求。

17 世纪的突破：从几何到代数的跨越

17 世纪初，天文学家开普勒为计算行星轨道和酒桶体积，在《桶测术》中使用了 “无限小元素求和” 的方法。他将复杂图形分割成无数微小部分，通过近似计算再累加求和，这种朴素的积分思想直接启发了后续研究者。

意大利数学家卡瓦列里在 1635 年提出 “不可分量原理”，他将线、面、体视为由无穷多个不可分量（如点、线、面）组成，通过比较不可分量的数量来计算面积和体积。虽然这一原理缺乏严格的逻辑基础，却极大简化了复杂图形的求积问题，成为积分学发展的关键一步。

与此同时，法国数学家费马在研究极值问题时，开创了类似微分学的方法。他通过设 “增量” 并令其趋于零，求解函数的极值点，这种方法已蕴含导数的核心思想。费马的工作揭示了 “瞬时变化率” 的数学本质，为微分学的建立提供了重要思路。

英国数学家巴罗则在《几何讲义》中首次发现了微分与积分之间的内在联系 —— 后来被称为 “微积分基本定理” 的雏形。他通过几何方法证明，求切线问题与求面积问题是互逆的过程，这一洞察为微积分的系统化奠定了基础。

集大成者：牛顿与莱布尼茨的接力

17 世纪末，两位巨匠的工作让微积分从零散的方法升华为系统的学科。1665-1666 年，牛顿在剑桥大学因瘟疫停课期间，创立了 “流数术”：他将时间视为基本变量，把运动物体的位置称为 “流量”，而速度则称为 “流数”，通过 “流量” 与 “流数” 的关系建立了一套完整的计算法则。牛顿用流数术解决了瞬时速度、曲线切线、最值问题等一系列难题，并在 1687 年的《自然哲学的数学原理》中，用这种方法阐释了行星运动规律。

牛顿像

几乎同时，德国数学家莱布尼茨独立开展了研究。1684 年，他发表《一种发现新方法的论文》，系统介绍了微分学的基本概念和符号体系。莱布尼茨的贡献不仅在于方法的严谨性，更在于他创造的符号系统 —— 如dx表示微分、∫表示积分 —— 这些符号直观易用，至今仍被广泛采用。

牛顿与莱布尼茨的工作各有侧重：牛顿更注重物理直观，将微积分视为描述运动的工具；莱布尼茨则强调逻辑结构，致力于建立一套统一的符号和运算规则。尽管两人因优先权问题曾引发争议，但历史最终认可了他们共同作为微积分创立者的地位。

莱布尼兹像

超越时代的遗产

微积分的诞生绝非偶然，它是历代数学家对 “变化” 与 “无限” 问题持续探索的结果。从阿基米德的穷竭法到费马的极值术，从卡瓦列里的不可分量到巴罗的互逆关系，每一步突破都为最终的飞跃积累了思想素材。牛顿与莱布尼茨的伟大之处，在于他们将零散的方法整合为一套完整的理论体系，并揭示了微分与积分的内在统一性。

如今，微积分已成为现代科学的语言，从行星运动到量子力学，从工程设计到经济模型，无不依赖微积分的工具。回望那些探索无穷奥秘的先驱者们，他们不仅留下了严谨的理论，更传承了一种勇于突破、追求真理的科学精神 —— 这种精神，正是人类理性最宝贵的财富。

来源：刘汉杰