摘要：在莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）之前，数学家们已经知道一个曲面在某一点p的不同方向上，其弯曲程度（即法曲率 κn）是不同的。例如，在一个圆柱面上，沿母线方向的法曲率为0（不弯曲），而垂直母线的方向法曲率最大。
在莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）之前，数学家们已经知道一个曲面在某一点p的不同方向上，其弯曲程度（即法曲率 κn）是不同的。例如，在一个圆柱面上，沿母线方向的法曲率为0（不弯曲），而垂直母线的方向法曲率最大。
这些不同方向上的法曲率之间是否存在某种内在的联系？能否由一个简单的公式统一描述？
欧拉在1760年发表的论文《Recherches sur la courbure des surfaces》（关于曲面曲率的研究）中回答了这个问题。这个发现被誉为微分几何的里程碑之一。
欧拉的伟大洞察在于： 他意识到，在曲面的一个非脐点（即两个主曲率不相等的点）p，存在两个互相垂直的主方向。沿着这两个方向的法曲率分别取到最大值κ₁ 和 最小值 κ₂，这两个值被称为主曲率。
欧拉发现，任何一个其他方向上的法曲率，都可以由这两个主曲率通过一个简单的三角函数公式计算得出。
第一步：定义与设定
1. 选择点与坐标系
在曲面S上选择一个点p。
设曲面 S由参数方程表示：
r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))
2. 切平面T
做出曲面在p点的切平面TpS。
3. 法向量N
定义p点的单位法向量n。
4. 法截面
任何一个包含法向量n的平面与曲面S相交，会得到一条平面曲线，称为法截线。这条曲线的曲率就是该方向上的法曲率 κn。
5. 主方向与主曲率
在所有可能的法截线中，存在两条特殊的法截线，它们的曲率取到极值（最大和最小）。这两个极值曲率 κ₁ 和 κ₂ 就是主曲率，它们所在的方向就是主方向。
关键的是，这两个主方向在切平面上是相互正交的。
∏θ是过法向量np的平面束，其中θ是平面∏θ从任意一个初始方向（至少现在如此）开始的旋转角。欧拉考虑经过点p的平面曲线Cθ，它是曲面S与平面∏θ的交线。当∏θ旋转时，交线Cθ的形状就会改变，因此，它在点P的曲率K(θ)（一般）也会随之变化。
当θ变化时，令K1和K2分别为K(θ)的最大值和最小值。欧拉发现，曲率的这两个极值（所谓的主曲率）总是在相互垂直的两个方向（称为主方向）上取得。
第二步：参数化方向
求与第一个主方向成角度 θ 的任意方向上的法曲率 κn(θ)。
在切平面TpS上，我们建立坐标系，使得两个坐标轴正好沿着两个主方向 d₁ 和 d₂。 那么，切平面上的任意一个单位切向量 w 都可以用它与 d₁ 的夹角 θ 来表示：
w = cosθ * d₁ + sinθ * d₂
第三步：使用第二基本形式
曲率的计算涉及到曲面的第二基本形式II: II=Ldu²+2Mdudv+Ndv²
第二基本形式衡量的是曲面在某个切方向 w 上偏离切平面的程度，这正是曲率的本质。
如果参数曲线还沿着主方向，在以主方向为基的坐标系下，第二基本形式II的矩阵表示是一个对角矩阵：
因为在主方向上，交叉项为零。
对于任意方向 w = (cosθ, sinθ)^T，该方向的第二基本形式（即法曲率 κn）的计算公式为：
第一基本形式:ds²=Edu²+2Fdudv+Gdv²
其中I 是第一基本形式的矩阵（在正交参数下是单位矩阵）。
当参数曲线是正交的（F=0）且是弧长参数化（E=1,G=1）时，第一基本形式矩阵为单位矩阵：
因为 w 是单位向量，所以分母 w^T · I · w = 1。
让第二基本形式成为对角矩阵的条件（参数沿主方向）与让第一基本形式成为单位矩阵的条件（正交归一化）是两个独立的条件。我们可以同时满足它们吗？答案是：可以，但仅在一点附近。曲面上一个普通点的无限小邻域必关于两个互相垂直的平面(两个曲面都包含曲面的法线)具有镜像对称性.且这两个平面与切平面相交的两个互相垂直的方向就是曲率取最大值和最小值的主方向.
第四步：进行推导计算
将 w 和 II 代入公式：
第五步：得到欧拉曲率公式并图解之
图中曲率公式为:
著名的欧拉曲率公式：
欧拉曲率示意图
K(θ)=2σ/ε²=2z/ε²
其中：
κn(θ) 是与第一主方向成 θ 角的方向上的法曲率。
k1是第一主曲率（最大曲率）。
k2是第二主曲率（最小曲率）。
θ是给定方向与第一主方向之间的夹角。
cos²θ=(1+cos2θ)/2
sin²θ=(1-cos2θ)/2
则,公式可改写为:
算术与几何意义:
公式的几何意义与推论
1. 统一性
该公式用一个简洁的表达式统一描述了曲面在某一点所有方向的弯曲程度。
2. 极值验证
当 θ = 0° 时，κn(0) = k1(1) + k2(0) = k1
当 θ = 90° 时，κn(90°) = k1(0) + k2(1) = k2这验证了主曲率确实是极值。
3. 对称性
从公式可以看出，曲率在 θ 和 θ+180° 上是相同的，这与直觉相符。
4. 平均值
利用三角恒等式 cos²θ+ sin²θ = 1，我们可以看出法曲率 κn(θ) 实际上是两个主曲率的加权平均。权重由方向角 θ 的余弦和正弦的平方决定。
欧拉曲率公式的发现过程看出:他通过识别出主方向这一关键概念，将曲面在一点无穷多个方向上的曲率信息，完美地压缩为两个主曲率值。
在现代微分几何中其推导过程变得非常清晰：在以主方向为基的特殊坐标系下，曲面的第二基本形式是对角化的，从而使得法曲率的计算简化为一个漂亮的二次型形式，最终得到欧拉公式。
附特征值方程求解法:
特别说明：欧拉当年并没有现代这些数学技术，他又是如何发现的呢？
设xy平面为切平面，原点P(0,0,0),z轴为曲面法线，
Z=f(x,y)
P点无穷小邻域，二元泰勒级数展开（欧拉最擅长），常数项和一阶偏导为0（参见本人前文《曲率和泰勒级数关系》）得：
Z≈1/2(aX²+2bXY+cY²)
a，b，c本质上为二阶偏导数，决定曲面在p点弯曲程度。
法截面与切平面交于法截线，法截线单位向量在切平面即XY平面基坐标上表示
(cosθ，sinθ)即X=εcosθ，Y=εsinθ，那么
Z≈1/2ε²(acos²θ+csin²θ+2bcosθsinθ)
K(θ)=2σ/ε²=2z/ε²
=acos²θ+csin²θ+2bcosθsinθ
=(a+c)/2+(a-c)cos2θ/2+bsin2θ
令Rcos2α=(a-c)/2
Rsin2α=b，则
K(θ)=(a+c)/2+Rcos(2θ-2α)
极值：cos(2θ-2α)=±1
极大值K1=(a+c)/2+R
极小值K2=(a+c)/2-R
彼此正交
K1+K2=a+c
(K1-K2)/2=△K/2=R则
K(θ)=(K1+K2)/2+(K1-K2)cos2θ/2
=K1cos²θ+K2sin²θ
来源：永不落的红黑心
