摘要：坦白说，挺惭愧的，本人作为一名多年前的大学毕业生，也费了不少劲，才解出来。如果一个初中生能在20分钟以内解出来的话， 我觉得以后大概率是985的苗子。
这几天看到这样一道几何题，我觉得很有意思，难度真的是不小。
题目如下：
原题
坦白说，挺惭愧的，本人作为一名多年前的大学毕业生，也费了不少劲，才解出来。如果一个初中生能在20分钟以内解出来的话， 我觉得以后大概率是985的苗子。
下面分享我的解题思路和步骤。
如图一作辅助线。
① 延长AD至E，使得AE=AB. 连接EB, EC. 因为∠BAD=60°，所以∆ABE为正三角形。
② 作BF//AD, 使得BF=AD. 连接FD, FC. 四边形ABFD为平行四边形。即：AB=DF=DC。
图一
③ 观察∆BFC.
∠CBF=180°-60°-40°=80°.∠CFB= 60°+40°/2= 80°. (因为DF=DC, ∠DFC= ∠DCF= 40°/2).故： ∆BFC为等腰三角形，即BC=FC.
EB=FD(因为FD=AB, 而∆ABE为正三角形)∠EBC=∠DFC=20°.BC=FC因为∆DFC为等腰三角形，故∆EBC同样为等腰三角形，即EB=EC. ∠EBC=∠ECB=20°. 而∠ECB=∠FCB=20°.这意味着点E落在CF上，即F、E、C三点共线. 调整一下，如图二。
图二
⑥ 观察∆EDC和∆AEC.
因为EC=EB=AB=CD=AE, 所以∠DEC=∠EDC=80°.
故∠EAB=∠ECA=(180°-80°)/2=50°.
于是∠BCA=∠ECA-∠ECD=50°-20°=30°.
小结1：这题的挑战在于两个：
辅助线比较多。本人的解法中用到了多达6条辅助线。很多人光看辅助线就已经晕掉了，要理清这些辅助线的关系和作用，需要很清晰的逻辑思维能力。尺规作图的误差。在本题中点E的位置是比较特殊的。在解题过程中，是需要论证才能知道点E实际上是落在CF上面，但尺规作图的误差容易误导解题者的思路。延长AD至点F, 使得AF=AB. 连接FB, FC. ∆ABF为正三角形。
然后过点A向右作AE//DC, 使得AE=DC. 则四边形AECD为平行四边形。连接EA,EB,EF, EC.
① 观察∆ABE与∆FBC：
AB=FB∠ABE=∠FBC=20°BE=BC故：∆ABE≌∆FBC (SAS).
所以：FC=FB=AB=AE.
② 观察梯形ECFA.
∠FCB=∠FBC=20°. 即BF//FC.
故： ∠CFE = 180°-80°-20°-50°=30°.
故: ∠EAF = ∠CFA=80°. 并且EC//AF. 即梯形ECFA为等腰梯形。
∠ACF=∠FEA=50°。
来源：饮弄水月
