摘要：构造正规族：构建函数族。此函数族中的函数均为从区域(D)到单位圆盘的单叶解析函数，且满足在点(z_0)处函数值为(0)，导数值大于(0)的条件。极值映射存在：从函数族达到最大值。这一选取的合理性由Montel定理保障，该定理确保了函数族的紧性，从而保证了极值映
陈述：若函数 (f) 在由闭曲线 所围成的区域 (D) 内解析，那么对于区域 (D) 内的任意一点 (z)，有 。
证明关键步骤：
陈述：单连通区域(D)，严格包含于复平面构成双全纯等价关系。
证明概要（Carathéodory, 1912）：
构造正规族：构建函数族。此函数族中的函数均为从区域(D)到单位圆盘的单叶解析函数，且满足在点(z_0)处函数值为(0)，导数值大于(0)的条件。极值映射存在：从函数族达到最大值。这一选取的合理性由Montel定理保障，该定理确保了函数族的紧性，从而保证了极值映射的存在性。证明满射：假设存在，即存在单位圆盘不在函数(f)作用下区域(D)的像集之中。此时构造函数，会发现最大相矛盾，从而证明了函数(f)是满射。示例：计算广义积分，其值为。
证明过程：
考虑复积分，这里积分路径(C)由构成（具体可参照图 1）。根据柯西定理可知：进行积分估计： 依据 Jordan 引理，当相关条件满足时， 的值趋近于(0)。 对于，而。对上述等式取实部进行推导：
L² 估计与 Ohsawa - Takegoshi 延拓（1987）
若 是多次调和函数，那么全纯截影 (f) 能够延拓至区域 (D)，并且满足不等式：
此成果在复几何领域有着重要应用，尤其体现在全纯向量丛的分类方面。乘子理想层（Nadel, 1989）
定义层 ，该定义为解决 Kähler - Einstein 度量的存在性问题提供了关键思路。卡拉比 - 丘流形镜像对称（Strominger - Yau - Zaslow, 1996）
提出猜想：Calabi - Yau 流形 (X) 的镜像流形 可由其特殊拉格朗日子流形的模空间构造得出。
其数学层面的实现形式为同调镜像对称（Kontsevich, 1994），具体表现为：
非凯勒复几何（Bismut - Lott, 1995）
在非 Kähler 流形上成功定义了解析挠率，并建立起 Cheeger - Müller 定理在复几何领域的类比形式。共形场论（CFT）
二维共形场论（CFT）的关联函数为全纯函数（Belavin - Polyakov - Zamolodchikov, 1984），其表达式为：
为使这一理论在数学上更加严格，引入了顶点算子代数（Frenkel - Lepowsky - Meurman, 1988）。Bieberbach 猜想的推广
对于 (s) 维多复变单位球上的双全纯映射，其系数估计是否满足 这一条件？目前，De Branges 方法尚未能推广至该情形以解决此问题。Fatou - Julia 分类的完备性
是否存在除无理旋转数之外的其他 Siegel 盘类型？这一问题也被称为 Perez - Marco 不变域问题。复三维卡拉比 - 丘流形分类
所有单连通的 Calabi - Yau 三维流形是否都能够构造为完全交？Candelas 等人在 1990 年提出了此疑问。全纯动力系统的遍历性
对于一般复流形上的全纯自映射，SRB 测度是否存在？这便是 Fornæss - Sibony 问题。层次核心内容现代方向基础理论涵盖柯西积分、留数定理以及共形映射等内容包括拟共形映射、Teichmüller 理论等方向函数论涉及整函数、亚纯函数以及值分布等方面主要为 Nevanlinna 理论的高维推广几何理论包含黎曼曲面、单值化定理等要点有 Kähler 几何、镜像对称等前沿领域动力系统包含复迭代、分形几何等概念如重整化、复拓扑熵等研究方向多复变涉及全纯凸性、层上同调等知识包括 L² 估计、乘子理想层等新兴内容
复变函数理论已从单复变的优雅分析发展为融合微分几何、代数拓扑、动力系统的核心数学支柱，并在弦论、量子计算等物理前沿发挥关键作用。其未解问题持续推动21世纪数学的深刻变革。
来源：二十二世纪科学的乌云
