2024北京北师大附中初二（上）期中数学

摘要：轴对称图形判定：判断图形是否沿某条直线折叠后，直线两旁部分完全重合（如第 1 题），需掌握常见图形（字母、多边形等）的对称性。平面直角坐标系中的轴对称：点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律 —— 关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称

一、几何图形基础与性质

（一）轴对称图形与轴对称变换

轴对称图形判定：判断图形是否沿某条直线折叠后，直线两旁部分完全重合（如第 1 题），需掌握常见图形（字母、多边形等）的对称性。

平面直角坐标系中的轴对称：点关于 x 轴、y 轴对称的坐标规律 —— 关于 x 轴对称，横坐标不变、纵坐标互为相反数；关于 y 轴对称，纵坐标不变、横坐标互为相反数（如第 2 题、第 25 题（1））。

轴对称作图：利用尺规作线段垂直平分线、角平分线，确定满足 “到两点距离相等”“到角两边距离相等” 的点（如第 22 题），需熟练掌握基本作图步骤与痕迹保留要求。

（二）三角形相关性质与判定

三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此判断三条线段能否构成三角形（如第 3 题）。

三角形内角与外角：等腰三角形两底角相等（如第 12 题、第 24 题）；三角形外角等于不相邻两内角和（如第 24 题（2）中∠ADB 与∠C 的关系）；直角三角形两锐角互余（如第 24 题（1））。

三角形重要线段：

高：从三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为高，需能识别指定边上的高（如第 6 题）。

垂直平分线：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等（如第 8 题，利用 BC 垂直平分线得 DB=DC，简化△ABD 周长计算）。

角平分线：角平分线上的点到角两边距离相等，等腰三角形 “三线合一”（等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线重合，如第 21 题证明中用到此性质）。

全等三角形判定与性质：

判定定理：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及其夹角对应相等）、ASA（两角及其夹边对应相等）、AAS（两角及其中一角对边对应相等），需排除 “SSA” 等错误判定方式（如第 7 题、第 23 题）。

性质应用：全等三角形对应边、对应角相等，用于证明线段相等（如第 23 题证明 AE=CF）、角相等（如第 21 题证明∠AED=∠GCA）。

特殊三角形：

等腰三角形：分类讨论腰与底（如第 12 题，边长 3 和 6 需排除 “3 为腰” 的情况，避免三边和为 6 不满足三角形关系）。

等边三角形：三边相等、三角均为 60°，且具有轴对称性，可利用其性质找规律（如第 10 题，通过等边三角形与 30° 角的关系，推导△A₅B₅A₆的边长）。

等腰直角三角形：顶角 90°、两底角 45°，两直角边相等，常用于构造全等模型（如第 27 题，以等腰直角△ABC 为背景，证明线段关系）。

（三）多边形基础

多边形内角和与外角和：n 边形内角和为\((n-2)\times180^\circ\)，任意多边形外角和为 360°，据此列方程求边数（如第 4 题，内角和等于外角和时，解得 n=4，即四边形）。

二、代数运算与代数式

（一）幂的运算

同底数幂乘法：\(a^m\cdot a^n=a^{m+n}\)（如第 5 题 A 选项，\(a^3\cdot a^2=a^5\neq a^6\)，需注意指数相加而非相乘）。

幂的乘方：\((a^m)^n=a^{mn}\)（如第 5 题 C 选项，\((-a^2)^3=-a^{6}\)，符号与指数均需正确计算）。

积的乘方：\((ab)^n=a^n b^n\)（如第 5 题 D 选项，\((-2ab^2)^2=4a^2b^4\neq 2a^2b^4\)，系数需平方）。

同底数幂除法：\(a^m\div a^n=a^{m-n}\)（如第 5 题 B 选项，\(6a^6\div 2a^2=3a^4\neq 3a^3\)，系数相除、指数相减）。

零指数幂：任何非零数的 0 次幂等于 1，即\(a^0=1(a\neq0)\)（如第 11 题，\((\pi-3.14)^0=1\)，因\(\pi\approx3.1416\neq3.14\)）。

（二）整式运算

整式乘法：

单项式 × 多项式：\(a(b+c)=ab+ac\)（如第 20 题化简中\(a(a+6)=a^2+6a\)）。

多项式 × 多项式：\((m+n)(p+q)=mp+mq+np+nq\)（如第 19 题（2），\((4x-1)(x+2)=4x^2+8x-x-2=4x^2+7x-2\)）。

含参数多项式乘法：若积中不含某一项，则该项系数为 0（如第 16 题，\((x+m)(x^2-3x+n)\)展开后，\(x^2\)项系数\(m-3=0\)、x 项系数\(n-3m=0\)，解得 m=3、n=9，故 m+n=12）。

整式除法：多项式 ÷ 单项式，将多项式每一项分别除以单项式，再合并结果（如第 19 题（3），\((15x^2y-10xy^2)\div5xy=3x-2y\)）。

乘法公式：平方差公式\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)（如第 20 题化简中\((2a+1)(2a-1)=4a^2-1\)），用于代数式化简与求值。

（三）代数式求值

整体代入法：当已知条件为方程形式（如第 20 题\(a^2-2a-1=0\)），可将代数式化简为含已知方程左边的形式（如\(3(a^2-2a)-1\)），再代入整体值（\(a^2-2a=1\)）计算结果。

三、新定义与综合应用

（一）平面向量初步

向量定义与运算：根据新定义，向量坐标表示为终点坐标减起点坐标（如第 26 题（1），\(\overrightarrow{OA}=(6-0,2-0)=(6,2)\)）；向量加法、减法、数乘、点乘按指定规则计算（如第 26 题（2），\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)则存在 k 使\(\vec{b}=k\vec{a}\)，解得 m=-6；第 26 题（5），通过向量点乘为 0 证明 AB⊥CD）。