摘要：如果我们正确作出辅助图形，求三角形的面积太简单了。我们的目标是手搓sin15°，用几何法求值。

在头条看到大力数学发布的一道题，求三角形的面积。题目呈现如下图所示：

如果我们正确作出辅助图形，求三角形的面积太简单了。我们的目标是手搓sin15°，用几何法求值。

让我们先从求三角形的面积开始吧。

容易想到构造出一个全等三角形，凑出特殊角30度，再作高，就得到三角形的面积了。在直角三角形中运用勾股定理，就可以计算出sin15°的值。

请看下图：(图源大力数学)

延长AB至点D，并使得AB=BD。连接CD。过点A向CD作垂线，垂足是E。

因为三角形ABC和三角形DBC全等，所以CD=CA=2。

在直角三角形AEC中，因为∠ACE=39°，所以AE=1.

已知三角形ADC的底和高，所以它的面积为1(cm²)。而三角形ABC的面积为三角形ADC的面积的一半，故所求三角形ABC的面积为½(㎝²)。

现在我们用勾股定理计算15°的正弦函数值。

在直角三角形ACE中，利用勾股定理可得CE=√3。那么，DE当然就是2-√3了。

在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AD，再得到AB。根据初中同学学过的锐角三角函数的定义，就得到了sin15°的值。

高中同学学了四大天王公式(两角和差三角函数关系式)，就可以推导倍角公式，半角公式可以看作是倍角公式的推论。继续推导可以得到诱导公式，和差化积以及积化和差的三角公式等等。

现在我们用半角公式验证。

令α=30°，得

几何法与三角法得到的结果是相等的。用数学软件绘制直角三角形的图形，结果如下图所示：

软件给出的精确值没有分母有理化。

求出sin15°实际上也就能够得到sin75°。根据重要的三角恒等式sin²α+cos²α=1，就可以得到cos15°。我们知道正余弦函数互为余函数，余弦的含义指的是余角的正弦。所以cos15°=sin75°

如果我们用四大天王公式计算sin(30°+45°)=(√6+√2)/4，就可以用勾股定理求出sin15°

于是得到与几何法相同的答案。

献给有梦想的高中同学

宁可十年不将军，不可一日不拱卒。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

来源：数学小课堂