摘要：可划分为“几何—场论—信息”三条主线，每条线都有对应的“硬核”与“软核”技术。

可划分为“几何—场论—信息”三条主线，每条线都有对应的“硬核”与“软核”技术。

一、几何端：把引力“压”进低一维的时空

1. 微分几何（硬核）

Lorentz 流形 (M,g)：定义体视界、边界 ∂M。

第二基本形式 Kμν 与 Gauss–Codazzi 方程：把 (d+1) 维 Einstein 方程拆成 d 维“哈密顿-动量”约束，这是后来“边界应力张量”〈Tμν〉的源头。

负常曲率空间：AdSd+1 的度规

其中：

R 是 AdS 的曲率半径。

z 是径向坐标。边界位于 z → 0，而 z → ∞ 是时空的“深处”（奇点）。

其等距群 SO(d,2) 正好匹配 d 维共形群，为 AdS/CFT 埋下“对称性对偶”第一颗钉子。

2. 共形几何与边界扩张（软核）

Fefferman–Graham (FG) 展开：

系数 g(0) 给出边界度规，g(d) 与边界能动张量 〈Tμν〉 一一对应，是“全息字典”的第一页。

共形紧化：通过共形因子 Ω→0 把无限远“压”成有限边界，使 Cauchy 面能与场论中的共形边界对接。

二、场论端：把边界算子“译”成体场

1. 共形场论工具箱（硬核）

初级算子 ΦΔ,l(x) 及其共形维 Δ、自旋 l；算子乘积展开 (OPE)

三点系数 C₁₂ₖ 直接对应体论三点耦合 g₁₂ₖ，这是“字典”第二页。

共形对称群 so(d,2) 的 Verma 模、unitarity bound；用表示论排除“幽灵”算子。

2. 大-N 矩阵模型（软核）

’t Hooft 耦合 λ = g²YM N；1/N 展开 ⇔ 体论弦环展开，给出拓扑弦振幅与 CFT 单迹/多迹算子的对应。

平面极限下的可积性：Bethe ansatz、Y-system，可算 anomalous dimension γ(λ) 到任意阶，与体弦论 Regge 轨迹对比。

三、信息端：把熵、纠缠、纠错码“写”进几何

1. 量子信息常用量（硬核）

von Neumann 熵

S = –Tr ρ log ρ；

Rényi 熵

Sₙ = (1–n)⁻¹ log Tr ρⁿ。

相对熵 D(ρ||σ) = Tr ρ(log ρ – log σ)：在全息中直接对应“体几何体积差”，用于证明正能量定理。

2. 张量网络与量子纠错（软核）

MERA／PEPS 把 CFT 地态离散成多层张量，每层缩并对应一次 RG 步；几何深度 ↔ 能量截断。

表面码 + 贪婪算法构造“全息码”——逻辑算子落在 bulk，物理比特落在 boundary，误差阈值与黑洞 Page 曲线同步出现。

四、交叉计算技术：把“字典”落地成公式

1. 全息纠缠熵公式

Ryu–Takayanagi (RT)：

其中 γ_A 是体中最小曲面，与A同源。

推广到动态时空：Hubeny–Rangamani–Takayanagi (HRT) 用“极值曲面”代替最小曲面；时间依赖时与极值黑洞事件视界吻合。

2. 反作用与有限截断

当边界区域 A 很大，γ_A 会“挖”出足够深的洞，反作用于边界度量——需解“backreacted” Einstein 方程并自洽调整 〈Tμν〉。

用 Brown–York 应力张量正则化：

Tμν^{BY} = (1/8πG)(Kμν – K gμν + C gμν)

抵消 FG 展开中的发散，给出有限守恒荷。

3. 模哈密顿量与引力局域化

对球域 A，边界模哈密顿量

在体中对偶于一个“boost”生成元，生成 Rindler-like 时间流；借此把 entanglement first law δS_A = δ〈H_A〉 翻译成线性化 Einstein 方程。

五、数值与符号辅助平台

Mathematica + xAct 套件：一次写出 FG 展开、曲率张量、Brown–York 张量并自动正则化。

Python 链：TensorNetwork / QuTiP 做 MERA 纠缠熵扫描；JAX-GR 做极值曲面搜索，GPU 加速 RT 面积计算。

可视化：ParaView 渲染 AdS 黑洞与极值曲面，让“面积=熵”真正可见。

全息原理的数学武器库呈“阶梯式”结构——底层是微分几何与共形场论，中层是 AdS/CFT 字典与 RT 公式，顶层是量子信息与张量网络。

掌握这三级工具，就能在“把引力问题翻译成场论问题，再翻成信息问题”的通道中自由往返。

来源：第二纽扣