摘要：1632年出版的西班牙兵书《军事准则、命令与战队队形》（Preceptos militares, orden, y formacion de esquadrones）曾提到过一个非常有意思的开平方算法。

1632年出版的西班牙兵书《军事准则、命令与战队队形》（Preceptos militares, orden, y formacion de esquadrones）曾提到过一个非常有意思的开平方算法。

那年头的西班牙军队长矛手有两种方阵（quadro，写成现代西语是cuadro，不是tercio，也不是esquadron/escuadrón）。

一种叫人方阵（quadro de gente），一种叫地方阵（quadro de terreno）。

所谓人方阵，就是将a名长矛手排成√a伍√a列，这样，每伍、每列人数都相等。

比如说，100人的队伍，就列成左右10伍，前后10列。

所谓地方阵，则是将a名长矛手排成b伍c列，满足a=b×c且3b=7c。在此状况下，由于每名长矛手横向占地为3尺，纵向占地为7尺，那么这a名长矛手列队完毕后前后为7c尺，左右为3b尺，整个队形前后左右占地恰好相等。

比如说，100人的队伍，就先是100×3÷7，取整得42，然后42开平方取整为6，得出应当排成前后6列，左右16个伍（不要问我剩下那4个人怎么办，我也不知道）。

问题自然来了，100这种方便的小小平方数自然可以口算，大数字怎么办？

所以，这本兵书一开始就教了教如何手动开平方，而且是个乍看起来几乎没有规律可循的数：21178404。

从第3叶到第5叶，该书依次给出了5个演算步骤（以及1个示范的废步骤，这里就不提了），并给出了相应说明。

换成现代人能看懂的解读方式，那就是。

第一步，点位数，两位两位地点，分出21178404里的21、17、84、04。

第二步，21估测平方根，得4，记上千位数字4和 21−4×4 后余下的5。

第三步，上一步余下的5结合后两位17得517，4乘2得8，而后就要口算出哪个 x 能够令十位数为8，个位数为 x 的两位数乘 x 后最接近517但又不能超过517，易知该数字为6，于是，记上百位数字6和 517−86×6 后余下的1。

至于这里为什么突兀地在5和1之间冒出了一个3，那其实是拆了一下计算过程， 将 517−86×6=1 写成了51−8×6=3,37−6×6=1 。

第四步，同理，余下的1结合84得184，46乘2得92，要想让百位数9，十位数2，个位数 x的三位数乘 x后不超过184，只能令 x为0，故十位数为0，余下184。

第五步，同理，18404=9202*2，得个位数为2。

至此手动开方结束。

当然，平时算算练练脑子也就罢了，急用的时候还是有计算尺能够帮忙的，那就一目了然了。

到了拿破仑上学那阵子，裴蜀（Bézout）编的王家炮兵军官数学课本里依然一如既往地教人徒手开平方。

此时的徒手开平方算式和西班牙兵书思路相同，但表述就要简洁明快得多，比如下面这个徒手开87567平方至小数点后三位，便在一个式子里直接开出了295.917。

补充成下图形式或许更容易看懂。

除此之外，当时法国学员手里还有了一个好工具：对数。

只消一张对数表在手，开平方，开立方也罢，就都就成了纯粹的四则运算和查表。

比如下方的炮兵应用题算例，已知24磅实心弹直径为5寸5线4点或5.444寸，求12磅实心弹直径。

这里顺便一提，寸（pouce）、线（ligne）、点（point）都是法国当时的旧制长度单位，具体换算关系为1寸=12线=144点=2.707厘米。

至于磅（livre），当时常用的法磅大约是489.5克，比英磅重一些，不过，法军12磅炮用的实心弹其实并不是12磅整，而是12.25磅，折算下来精确到小数点后一位恰好是6.0千克。

当然，这里的应用题自然不会考查如此生僻的知识点，我们只需要按照12磅和24磅按部就班计算即可。

实心弹可以视为铁球，于是这里实际上就是问已知24磅铁球直径为5.444寸，求12磅铁球直径。

换句话说，就是要用2的立方根去除5.444。

计算方法此时已经相当简单粗暴，当然，裴蜀课本里跳过了一些他认为毋庸赘述的东西，所以这里我还是稍微补充一下。

先查5444的常用对数，得3.7359181，故5.444取对数为0.7359181，乘3后得2.207754，减去2的对数0.3010300，得1.906724。

1.906724除以3，得0.635575，查表知，最接近10的3.635575次幂的是10的3.6355843次幂4321，则10的0.635575次幂约为4.321。

即12磅实心弹直径4.321寸，约合4寸3线10点。

来源：古斯塔夫real