摘要：在量子场论的框架中，紫外发散与重整化是两个核心概念，它们共同揭示了理论在高能极限下的行为，并为物理学提供了一种从看似无穷大的计算中提取有限、可观测结果的方法。紫外发散源于动量积分在高能区域的异常行为，而重整化则通过引入抵消项和物理参数的重新定义，成功驯服了这些

在量子场论的框架中，紫外发散与重整化是两个核心概念，它们共同揭示了理论在高能极限下的行为，并为物理学提供了一种从看似无穷大的计算中提取有限、可观测结果的方法。紫外发散源于动量积分在高能区域的异常行为，而重整化则通过引入抵消项和物理参数的重新定义，成功驯服了这些发散，使得理论预测与实验观测相符。这一过程不仅解决了数学上的难题，还揭示了物理定律在不同能量尺度下的动态演化。本文将从紫外发散的起源开始，逐步探讨其数学表现、截断正规化的初步处理、重整化的核心思想及其具体实现，最终分析重整化群的意义，旨在为读者提供一个深入而系统的理解。

紫外发散是量子场论中一个引人注目的问题，它出现在微扰论计算中，尤其是在涉及圈图的散射振幅计算时。为了理解其起源，我们可以对比费曼图中的两种基本类型：树图和圈图。以 φ⁴ 理论为例，这是一个简单的标量场理论，其相互作用项为 (λ / 4!) φ⁴，其中 λ 是耦合常数，φ 是标量场。

树图是费曼图中最简单的形式，代表经典过程的量子化，没有内部闭合回路。以四点函数为例，树图级的振幅由一个四点顶点直接给出：

i M_tree = -i λ

这个振幅是一个有限的常数，不涉及动量积分，因此不会出现发散问题。它的计算直观且简单，反映了理论在低阶近似下的可控性。然而，当我们引入圈图时，情况发生了根本性的变化。

圈图包含一个或多个闭合回路，代表了虚拟粒子的产生和湮灭，对应于量子涨落效应。以 φ⁴ 理论中的单圈四点函数为例，其费曼图是一个“盒子图”，包含一个闭合回路。计算这一振幅需要对内部动量 l 进行四维积分，表达式大致为：

M_loop ~ ∫ d⁴l / (2π)⁴ * [1 / (l² - m²)] * [1 / ((l + p_1)² - m²)] * [1 / ((l + p_2)² - m²)] * [1 / ((l + p_3)² - m²)]

其中，m 是粒子的质量，p_i 是外部动量。在高动量区域（l → ∞，即紫外区域），传播子的渐进行为变为 1 / l²，因此整个被积函数近似为：

[1 / l²]⁴ = 1 / l⁸

而四维动量积分的体积元素为 l³ dl（在球坐标下），因此积分形式为：

∫ d⁴l / l⁸ ~ ∫ l³ dl / l⁸ = ∫ dl / l⁴

在 l → ∞ 的极限下，这个积分的对数发散行为显现出来。为了量化这一点，我们引入一个动量截断 Λ，表示积分的上限：

∫^Λ dl / l⁴ ~ ln(Λ)

这表明单圈图的振幅依赖于 Λ，并且当 Λ → ∞ 时，振幅趋于无穷大。这种发散被称为紫外发散，反映了理论在短距离或高能极限下的病态行为。

如果考虑更复杂的图，例如双圈图（后文以“土星图”为例），发散可能更严重。以一个自能图为例，其积分形式可能为：

∫ d⁴l / (2π)⁴ * [1 / (l² - m²)]²

在紫外区域，被积函数近似为 1 / l⁴，积分变为：

∫^Λ d⁴l / l⁴ ~ ∫^Λ l³ dl / l⁴ = ∫^Λ dl / l ~ ln(Λ)

然而，若双圈图涉及更高阶发散，例如平方发散，则表现为：

∫^Λ d⁴l / l² ~ Λ²

这种平方发散在某些图中更为显著，需要更强的抵消手段。紫外发散的存在表明，简单的微扰论计算无法直接给出有限结果，这促使物理学家发展重整化技术，以确保理论的预测能力。

面对紫外发散，一个直观的初步处理方法是截断正规化，即人为限制动量积分的上限为 Λ。例如，对于单圈图的发散积分，我们将其写作：

∫^Λ d⁴l / (2π)⁴ * [1 / (l² - m²)]²

通过引入 Λ，积分结果变得有限，但依赖于这个截断参数。例如，对于对数发散，振幅表现为 M ~ ln(Λ)；对于平方发散，则可能为 M ~ Λ²。这种方法虽然暂时避免了无穷大，却带来了新的问题：Λ 是一个人为参数，没有明确的物理意义。在现实物理过程中，并不存在一个固定的动量上限，因此物理可观测量（如散射截面或粒子质量）不应依赖于 Λ。

为了验证这一点，假设我们在 φ⁴ 理论中计算一个四点散射振幅。裸振幅（即未正规化的结果）可能表现为：

M_bare = λ + λ² * ln(Λ / μ)

其中，μ 是一个参考能量尺度。显然，当 Λ 变化时，M_bare 也会随之改变，这与物理量的独立性相矛盾。为了解决这一问题，重整化思想应运而生。

重整化的核心理念是，物理结果不应依赖于人为参数 Λ。通过引入抵消项（counterterms），我们可以将发散部分吸收进理论的参数中，使得最终的物理量是有限的且与 Λ 无关。具体来说，在拉格朗日量中加入额外的项，这些项与圈图中的发散贡献相抵消，从而得到有限的、可观测的振幅。这种方法不仅消除了 Λ 的依赖性，还重新定义了理论中的基本参数，使其与实验测量一致。

以 φ⁴ 理论为例，其原始拉格朗日量（裸拉格朗日量）为：

L_bare = (1/2) (∂φ_bare)² - (1/2) m_bare² φ_bare² - (λ_bare / 4!) φ_bare⁴

为了抵消发散，我们引入抵消拉格朗日量 L_ct：

L_ct = -(δ_Z / 2) (∂φ_bare)² - (δ_m / 2) φ_bare² - (δ_λ / 4!) φ_bare⁴

于是，重整化拉格朗日量变为：

L_ren = L_bare + L_ct = (1/2) (1 - δ_Z) (∂φ_bare)² - (1/2) (m_bare² + δ_m) φ_bare² - [(λ_bare + δ_λ) / 4!] φ_bare⁴

通过定义重整化场 φ_r = Z^(-1/2) φ_bare（其中 Z = 1 - δ_Z），以及重整化质量 m_r 和耦合常数 λ_r，我们可以将 L_ren 改写为与物理参数相关的形式。抵消项 δ_Z、δ_m 和 δ_λ 的作用分别是吸收场强、质量和耦合常数的发散修正，确保最终结果有限。

重整化的实施需要明确抵消项的具体形式，这通过施加重整化条件来实现。这些条件在某个能量尺度 μ 下定义，确保理论预测与物理测量一致。以 φ⁴ 理论为例，我们需要定义重整化场 φ_r、质量 m_r 和耦合常数 λ_r，使其具有物理意义。

首先，场归一化条件基于 LSZ 归一化要求，即单粒子态的归一化形式为：

⟨0|φ_r(0)|p⟩ = 1

这意味着 δ_Z 必须吸收自能图中的发散部分，使得传播子的波函数重整化后满足标准形式。其次，质量重整化条件要求物理质量 m_r 在传播子的极点位置定义，即：

p² = m_r²

这需要 δ_m 抵消自能图对质量的发散修正。例如，对于一个单圈自能图，其发散部分可能为 ln(Λ)，δ_m 的形式则相应调整为 ln(Λ) 的函数，确保总质量有限。

最后，耦合常数 λ_r 通过四点函数在特定动量配置下的定义确定。例如，在对称点（p_1 + p_2 + p_3 + p_4 = 0，p_i² = μ²），四点函数的振幅定义为 λ_r。δ_λ 的作用是抵消圈图（如盒子图）中的发散，使得 λ_r 是有限的物理耦合常数。

为了具体说明这一过程，考虑一个双圈自能图，称为“土星图”。其动量积分为：

Σ(p²) ~ ∫ d⁴l / (2π)⁴ * [1 / (l² - m²)] * ∫ d⁴k / (2π)⁴ * [1 / (k² - m²)]

在紫外区域，这可能导致平方发散：

为抵消这一发散，δ_m 被选择为 δ_m ~ Λ²，使得总的自能修正 Σ_ren = Σ(p²) - δ_m 在 p² = m_r² 处有限。在费曼图中，质量抵消项对应于顶点 -i δ_m，与圈图发散部分相抵消。这种抵消过程确保 S 矩阵元（即物理散射振幅）是有限的。

通过这些条件，裸参数（m_bare、λ_bare）与抵消项结合，定义出物理参数（m_r、λ_r），使得用重整化参数计算的结果与实验一致。这种方法在实际应用中非常成功，例如在量子电动力学（QED）中，电子质量和电荷的重整化遵循类似原则。

重整化不仅解决了紫外发散，还揭示了物理参数随能量尺度变化的规律。重整化参数（如 λ_r）是在特定能量尺度 μ 下定义的，但物理量不应依赖于人为选择的 μ。这引出了重整化群（Renormalization Group, RG）的概念，它描述了参数如何随 μ “跑动”。

在 φ⁴ 理论中，耦合常数 λ_r(μ) 的变化由重整化群方程（RGE）控制：

μ * dλ_r / dμ = β(λ_r)

其中，β(λ_r) 是 β 函数，表示 λ_r 随 μ 的变化率。为了计算 β 函数，考虑四点函数的单圈修正，其发散部分为：

M_loop ~ λ_r² * ln(Λ / μ)

为使振幅不依赖于 μ，δ_λ 需包含 ln(μ / μ_0) 项，其中 μ_0 是参考尺度。β 函数通过对 δ_λ 的导数计算得出，在最低阶近似下：

β(λ_r) = (3 λ_r²) / (16π²)

这表明 λ_r 随 μ 增加而增强，即在高能（紫外）区域，耦合强度变大。这种特性与渐近自由相反，φ⁴ 理论在紫外区域是非渐近自由的，耦合增强可能导致理论在高能下失效。

物理上，RGE 揭示了理论在不同能量尺度下的行为。例如，在低能（红外）区域，λ_r 较小，理论表现稳定；而在高能区域，λ_r 的增强提示可能需要新的物理机制。这种跑动行为在研究相变和临界现象时尤为重要，为理解理论的有效性提供了深刻洞察。

结语

紫外发散与重整化是量子场论中的经典课题，从树图与圈图的对比，到截断正规化的尝试，再到重整化思想的完善，这一过程展示了物理学家如何将数学发散转化为物理洞察。通过抵消项和重整化条件，紫外发散被成功吸收，理论预测得以与实验吻合。重整化群的引入进一步拓展了这一框架，揭示了物理定律的尺度依赖性。从 φ⁴ 理论的简单模型到更复杂的实际应用，重整化的成功不仅是技术上的胜利，更是科学思想的飞跃，为现代物理学的发展奠定了坚实基础。

来源：宇宇说科学