摘要：基本不等式是高中数学的重要工具，贯穿于函数求最值、不等式证明等多个板块。今天带大家系统梳理基本不等式及不等式链的核心内容，帮你轻松掌握这个解题"利器"。

基本不等式是高中数学的重要工具，贯穿于函数求最值、不等式证明等多个板块。今天带大家系统梳理基本不等式及不等式链的核心内容，帮你轻松掌握这个解题"利器"。

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一、基本不等式的"前世今生"

重要不等式：对任意实数a,b，都有a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。这个看似简单的公式是所有不等式的基础，揭示了平方和与乘积之间的不等关系。

基本不等式：当a>0,b>0时，用√a、√b替换重要不等式中的a、b，可得到√(ab)≤(a+b)/2，当且仅当a=b时等号成立。注意"一正二定三相等"的使用条件：a,b必须为正数，和或积为定值，且能取到等号。

实用变形：

• ab≤(a²+b²)/2（重要不等式变形）

• a+b≥2√(ab)（基本不等式变形，已知积求最值）

• 对负数情形：若a,b

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二、直观理解：基本不等式的几何意义

在半圆中，设AC=a,BC=b，O为AB中点，则OD=(a+b)/2（半径），CD=√(ab)（半弦长）。几何意义十分清晰：半圆中任意弦长不大于半径，即√(ab)≤(a+b)/2。这个图形完美诠释了基本不等式的本质，让抽象公式变得可视化。

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三、不等式链：四个平均数的大小关系

对于正数a,b，有完整的不等式链：

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数

即2/(1/a+1/b) ≤ √(ab) ≤ (a+b)/2 ≤ √[(a²+b²)/2]

等号均在a=b时成立。每个平均数都有特定应用场景：

• 调和平均数：解决"平均速度"等倒数相关问题

• 几何平均数：适用于乘积为定值的最值问题

• 算术平均数：和为定值时求最值

• 平方平均数：在方差计算等统计问题中常用

四、拓展应用：多个正数的情形

• 三个正数：a³+b³+c³≥3abc（a,b,c>0）

• n个正数：(a₁+a₂+…+aₙ)/n ≥ √n（a₁a₂…aₙ）（算术平均数不小于几何平均数）

学习建议：结合几何意义理解公式本质，通过对比表格掌握不同不等式的适用范围，重点练习"1的代换"等技巧。基本不等式不仅是解题工具，更是培养代数变形能力的重要载体，建议从具体例题入手，在应用中深化理解，避免死记硬背。掌握这些知识，你会发现不等式问题变得既直观又有趣！

来源：天哥教育