摘要：集合运算：考查集合的交集运算（第 1 题），需掌握交集定义（取两个集合的公共元素），结合具体集合（有限集\(A=\{x \in N^{*} | 1与无限集\(B=\{x | x>2\}\)）计算交集结果，注意自然数集\(N^{*}\)的限定条件。命题的否定：第
一、集合与常用逻辑用语
集合运算：考查集合的交集运算（第 1 题），需掌握交集定义（取两个集合的公共元素），结合具体集合（有限集\(A=\{x \in N^{*} | 1与无限集\(B=\{x | x>2\}\)）计算交集结果，注意自然数集\(N^{*}\)的限定条件。
命题的否定：第 3 题考查全称命题的否定，核心是将 “全称量词” 改为 “存在量词”，并否定结论，需遵循命题否定的逻辑规则，避免只否定结论而忽略量词的错误。
二、复数
第 2 题考查复数的运算与几何意义，核心知识点：复数四则运算：已知\((2 - i)z = 2 + i\)，需通过分母实数化（分子分母同乘分母的共轭复数\(2 + i\)）求解z，即\(z = \frac{(2 + i)^2}{(2 - i)(2 + i)} = \frac{3 + 4i}{5}\)。
复数的几何意义：复数\(z = a + bi\)（\(a,b \in R\)）对应复平面内的点\((a,b)\)，根据实部a和虚部b的正负判断点所在象限（本题\(a = \frac{3}{5} > 0\)，\(b = \frac{4}{5} > 0\)，位于第一象限）。
三、函数及其性质
1. 基本初等函数
三角函数：第 5 题考查三角函数的最值，需利用诱导公式化简函数（如\(\cos(x - \frac{\pi}{6}) = \sin(x + \frac{\pi}{3})\)），将\(f(x)\)合并为单一三角函数\(f(x) = \frac{6}{5}\sin(x + \frac{\pi}{3})\)，再根据正弦函数的取值范围求最大值。
对数函数：第 13 题考查对数运算的实际应用，已知\(v = \frac{1}{2}\log_{3}\frac{O}{100}\)，需通过游速与耗氧量的关系，分别求出\(v = 2\)和\(v = 3\)时的耗氧量U和W，再利用对数运算法则计算\(\frac{W}{U}\)（\(\log_{3}\frac{U}{100} = 4\)得\(U = 8100\)，\(\log_{3}\frac{W}{100} = 6\)得\(W = 72900\)，故\(\frac{W}{U} = 81\)）。
分段函数与单调性：第 12 题考查函数的奇偶性与单调性综合应用，先判断\(f(x) = e^x - e^{-x} + x^3\)的奇偶性（\(f(-x) = -f(x)\)，为奇函数）和单调性（导数\(f'(x) = e^x + e^{-x} + 3x^2 > 0\)，单调递增），再将不等式\(f(2x - 3) + f(x) > 0\)转化为\(f(2x - 3) > f(-x)\)，结合单调性得\(2x - 3 > -x\)，求解\(x > 1\)。
2. 导数及其应用
第 18 题集中考查导数的核心应用，涵盖：导数的几何意义：当\(a = 0\)时，\(f(x) = \frac{3 - 2x}{x^2}\)，求曲线在点\((1, f(1))\)处的切线方程，需先求导数\(f'(x) = \frac{-2x^2 - 2x(3 - 2x)}{x^4} = \frac{2x - 6}{x^3}\)，得切线斜率\(f'(1) = -4\)，再用点斜式写切线方程\(y - 1 = -4(x - 1)\)，即\(y = -4x + 5\)。
利用导数求极值与单调区间：由\(f(x)\)在\(x = -1\)处取得极值，得\(f'(-1) = 0\)，求解\(a = 4\)；再求导数\(f'(x) = \frac{-2(x^2 + 4) - (3 - 2x) \cdot 2x}{(x^2 + 4)^2} = \frac{2x^2 - 6x - 8}{(x^2 + 4)^2}\)，令\(f'(x) = 0\)得极值点\(x = -1\)和\(x = 4\)；通过列表判断导数符号，确定单调递增区间\((-\infty, -1)\)和\((4, +\infty)\)，单调递减区间\((-1, 4)\)，进而求最大值\(f(-1) = 1\)和最小值\(f(4) = -\frac{1}{4}\)。
四、三角函数与解三角形
三角函数定义与向量模：第 4 题考查单位圆上两点间距离，\(A(\cos80^{\circ}, \sin80^{\circ})\)和\(B(\cos20^{\circ}, \sin20^{\circ})\)均在单位圆上，根据两点间距离公式\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{(\cos80^{\circ} - \cos20^{\circ})^2 + (\sin80^{\circ} - \sin20^{\circ})^2}\)，结合三角恒等变换（\(\cos A - \cos B = -2\sin\frac{A + B}{2}\sin\frac{A - B}{2}\)，\(\sin A - \sin B = 2\cos\frac{A + B}{2}\sin\frac{A - B}{2}\)），化简得\(|\overrightarrow{AB}| = \sqrt{2 - 2\cos60^{\circ}} = 1\)。
解三角形：第 17 题考查正弦定理、余弦定理与三角形面积公式的综合应用：
（I）由正弦定理将\(\sin B \sin2A = \sqrt{3}\sin A \sin B\)化简，消去\(\sin B\)和\(\sin A\)（\(\sin B \neq 0\)，\(\sin A \neq 0\)），得\(2\cos A = \sqrt{3}\)，故\(A = \frac{\pi}{6}\)。
（II）选择条件②或③，利用余弦定理、基本不等式（如条件②中\(a + c = 4\)，结合\(\cos A = \frac{\sqrt{3}}{2}\)和\(b = 2\sqrt{3}\)，得\(a = c = 2\)，三角形唯一）或高的定义（条件③中AB边上的高\(h = \sqrt{3}\)，得\(b = 2\sqrt{3}\)，再用余弦定理求\(c = 7\)），最后用面积公式\(S = \frac{1}{2}bc\sin A\)计算面积。
五、平面向量
第 6 题考查向量的数量积与向量夹角，已知\(\boldsymbol{a} = (3, 4)\)，\(\boldsymbol{b} = (1, 0)\)，\(\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a} + t\boldsymbol{b} = (3 + t, 4)\)，由\(\langle \boldsymbol{a}, \boldsymbol{c} \rangle = \langle \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c} \rangle\)，根据向量夹角公式\(\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{a}| \cdot |\boldsymbol{c}|} = \frac{\boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c}}{|\boldsymbol{b}| \cdot |\boldsymbol{c}|}\)，化简得\(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{c} \cdot |\boldsymbol{b}| = \boldsymbol{b} \cdot \boldsymbol{c} \cdot |\boldsymbol{a}|\)，代入向量坐标计算得\(3(3 + t) + 16 = 5(3 + t)\)，解得\(t = 5\)。六、数列
等比数列：第 8 题考查等比数列的性质与前n项和的最值，已知无穷等比数列\(\{a_n\}\)，先分析\(a_1a_5 > a_2^2\)（由等比数列性质\(a_1a_5 = a_3^2\)，故\(a_3^2 > a_2^2\)，得公比\(|q| > 1\)），再判断 “\(S_n\)既无最大值也无最小值” 的条件（公比\(|q| > 1\)或\(0 a_2^2\)” 是 “\(S_n\)既无最大值也无最小值” 的必要不充分条件。
数列求和与圆的性质：第 9 题结合圆的性质考查数列求和，圆\(C_n\)平分圆C的周长，说明两圆公共弦是圆C的直径，两圆方程相减得公共弦方程\((2 - a_n)x + (2 - a_{2026 - n})y = 0\)，因公共弦过圆C的圆心\((2, 2)\)，代入得\(a_n + a_{2026 - n} = 4\)，利用倒序相加法求数列前 2025 项和\(S_{2025} = \frac{2025(a_1 + a_{2025})}{2} = \frac{2025 \times 4}{2} = 4050\)。
七、解析几何
1. 双曲线与抛物线
双曲线：第 11 题考查双曲线的渐近线与离心率，双曲线\(kx^2 - y^2 = 1\)的标准方程为\(\frac{x^2}{\frac{1}{k}} - y^2 = 1\)（\(k > 0\)），渐近线方程为\(y = \pm \sqrt{k}x\)；由渐近线与直线\(2x + y + 1 = 0\)（斜率为\(-2\)）垂直，得\(\sqrt{k} \times (-2) = -1\)，解得\(k = \frac{1}{4}\)，故渐近线方程为\(y = \pm \frac{1}{2}x\)，离心率\(e = \frac{c}{a} = \frac{\sqrt{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2}\)。
抛物线：第 14 题考查抛物线的基本性质，抛物线\(C_1: y^2 = 4x\)的准线方程为\(x = -1\)，焦点\(F_1(1, 0)\)；抛物线\(C_2: y^2 = 16x\)的焦点\(F_2(4, 0)\)；直线\(y = m\)与\(C_1\)交于\(P(\frac{m^2}{4}, m)\)，与\(C_2\)交于\(Q(\frac{m^2}{16}, m)\)；由抛物线定义得\(|PF_1| = \frac{m^2}{4} + 1\)，\(|QF_2| = \frac{m^2}{16} + 4\)，结合\(|PF_1| - |QF_2| = 3\)，解得\(m = 4\)。
2. 椭圆
第 19 题考查椭圆的方程与直线与椭圆的位置关系：（I）由椭圆右顶点\(A(2, 0)\)得\(a = 2\)；上顶点与左右焦点构成等腰直角三角形，得\(b = c\)，结合\(a^2 = b^2 + c^2\)，解得\(b = c = \sqrt{2}\)，故椭圆方程为\(\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{2} = 1\)。
（II）设直线AM的方程为\(y = k(x - 2)\)，与椭圆方程联立，求出M点坐标，进而得N（M关于y轴的对称点）坐标；分别求直线AM、AN与y轴的交点P、Q的坐标；由\(|MN| = |PQ|\)列方程，求解\(|y_0| = 1\)，\(|x_0| = \sqrt{2}\)，故\(|MN| = 2\sqrt{2}\)。
八、立体几何与创新题型
（I）\(f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1}\)单调递增，取值范围\((-1, 1)\)，取通道下界\(y = -1\)，上界\(y = 1\)，距离为2，满足宽度不超过3。
（II）证明\(g(x) = x + \sin x + \cos x\)存在宽度为2的通道，取\(k = 1\)，\(b_1 = -\sqrt{2}\)，\(b_2 = \sqrt{2}\)，证明\(x - \sqrt{2} \leq x + \sin x + \cos x \leq x + \sqrt{2}\)（利用\(\sin x + \cos x = \sqrt{2}\sin(x + \frac{\pi}{4}) \in [-\sqrt{2}, \sqrt{2}]\)），且两直线距离为2。
（III）判断\(h(x) = \frac{2\ln x + 3}{x}\)（\(x \in [1, +\infty)\)）是否存在宽度为\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)的通道，先求\(h(x)\)单调递减，取值范围\((0, 3]\)；假设存在通道，分\(k = 0\)（距离\(3 > \frac{\sqrt{2}}{2}\)）、\(k > 0\)（无下界）、\(k
创新数列题型（正交点列）：第 21 题定义 “正交点列”，考查向量垂直与整点列性质：（I）求\(A(3)\)的正交点列\(B(3)\)，利用向量垂直（\(\overrightarrow{A_1A_2} \cdot \overrightarrow{B_1B_2} = 0\)，\(\overrightarrow{A_2A_3} \cdot \overrightarrow{B_2B_3} = 0\)），列方程求解\(B_2(2, 5)\)，得\(B(3): (0, 2), (2, 5), (5, 2)\)。
（II）判断\(A(4)\)是否存在正交点列，设\(\overrightarrow{B_iB_{i+1}} = \lambda_i\)与\(\overrightarrow{A_iA_{i+1}}\)垂直的向量，列方程组，发现方程无解，故不存在。
（III）证明\(\forall n \geq 5\)，存在无正交点列的整点列\(A(n)\)，通过构造特定的，使对应的方程组无整数解，从而证明结论。
来源：天才教育
