摘要：在数学界看似简单的问题，往往暗藏着最深的谜团。近日，两位数学家——美国内布拉斯加大学的Susan Hermiller与长期合作伙伴Mark Brittenham——正式推翻了一条流传近一个世纪的数学猜想。

在数学界看似简单的问题，往往暗藏着最深的谜团。近日，两位数学家——美国内布拉斯加大学的 Susan Hermiller 与长期合作伙伴 Mark Brittenham ——正式推翻了一条流传近一个世纪的数学猜想。

他们的成果聚焦于 “解开一个结需要多少步” 这一根本问题，也就是所谓的 “解结数（unknotting number）”。过去数学家普遍相信，当你把两个结拼接在一起（称为“连和结”）时，其解结数应当等于两个结各自解结数的总和，这被称为 加和性猜想（additivity conjecture）。这条猜想看似直观，甚至被许多人视为结理论中最自然的定律之一。

然而，Hermiller 与 Brittenham 用十余年的计算机“苦功夫”，最终发现了一个反例：当他们把两个 (2,7)环面结 拼接在一起时，解结数居然比预期的更小。这一发现等于宣告：加和性猜想彻底破产。更令人震惊的是，他们由此推导出一系列无限多的反例，说明解结数的行为比人们想象中更加混乱和难以预测。

正如弗吉尼亚联邦大学的数学家 Allison Moore 所形容的那样：“当我看到论文时，我忍不住惊呼出声。这就像在数学的世界里竖起了一面旗帜，上面写着：我们对这个问题，其实一无所知。”

故事要追溯到 1876 年。那一年，苏格兰数学家 Peter Guthrie Tait 在研究结的本质时，提出了一个直觉：如果我们想衡量一个结有多“复杂”，也许可以数一数，要经过多少次“交叉点变换”才能把它彻底解开。

所谓交叉点变换，就是把一个结平放在桌面上，选择某个交叉点，把上下位置调换过来，再把绳子粘好。经过足够多次这样的操作，最终任何结都能变成一个普通圆圈。Tait 将所需的最小操作次数称为“结的复杂度”，今天我们叫它 解结数（unknotting number）。

这个想法为后来整个结理论（knot theory）的发展奠定了基础。但问题在于：解结数既直观，又异常难算。即便一个结看起来很复杂，它可能只需要少量变换就能解开；而另一些貌似简单的结，却可能暗藏高复杂度。Tait 自己也在信中向朋友麦克斯韦坦承，他担心自己“过度沉迷于某种直觉”，而忽略了真正的本质。

进入 20 世纪初，数学家们开始思考一个更系统的问题：当两个结“拼接”在一起，解结数会如何变化？德国数学家 Hilmar Wendt 在 1937 年提出了一个看似合理的猜测：拼接后的解结数应该等于两个结各自解结数的总和。这就是后来广为人知的 加和性猜想（additivity conjecture）。

这条猜想的吸引力在于，它能给结的复杂度提供一个“整齐划一”的衡量方式。如果它是真的，那么只要掌握了“质数结”（prime knots）的解结数，所有结的解结数都能顺理成章地推导出来，整个结的世界会像数论一样井然有序。

然而，数学的魅力就在于：看似合理的东西，往往需要极其坚实的证明。几十年来，数学家们没能找到一个直接的反例，也没能给出完整的证明。这个僵局让加和性猜想一度成为结理论的“信仰”，一种尚未确认但被广泛接受的秩序假设。

1985 年，美国数学家 Martin Scharlemann 做出了突破：他证明了，当两个结的解结数都是 1 时，它们拼接后的解结数必定是 2。这让人们对加和性猜想更加信心满满，似乎“秩序”真的存在。此后，这个结果被扩展到更多类别的结，进一步巩固了猜想的地位。

但与此同时，一些人也感到不安：为什么始终没有通用的证明？会不会隐藏着某个反例？

进入 21 世纪，随着计算能力的提升，数学家们开始尝试借助电脑来“硬算”解结数。Susan Hermiller 和 Mark Brittenham 在十多年前就立下目标：利用计算机系统化地研究解结数的性质。

他们使用的软件叫 SnapPy，这是一个专门研究三维几何与结的工具。通过它，他们可以快速识别出某个图像对应的结，并比较不同结之间的关系。Hermiller 和 Brittenham 的方法很“笨拙”：他们从一个复杂的结出发，尝试各种可能的交叉点变换，得到大量新结，然后逐一用 SnapPy 识别，再继续操作。这个过程不断循环，持续了 上百万次实验，生成了一个庞大的数据库。

在这个过程中，他们甚至搞出了一个“土法超算”：既借用了大学的超级计算机，也用旧笔记本拼凑成“计算农场”，靠人力搬运数据（所谓的“sneakernet”——用脚步传输数据）。有的笔记本因为过度运算而冒烟、放火花，最后被“光荣退役”。

这一切的努力，最终在 2024 年底得到回报。某一天，程序的输出文件里跳出了一个意想不到的提示：“CONNECT SUM BROKEN”。那是他们自己预设的调试提示——意味着找到了加和性猜想的反例。他们起初不敢相信，反复检验代码，甚至用绳子把那个结打出来，亲手做了解结实验，确认了结果。

这个反例就是：把两个 (2,7) 环面结 拼接起来，解结数并不是预期的 3+3=6，而是 5。看似微小的差距，却足以推翻近百年的“常识”。更令人震撼的是，他们进一步证明，这样的反例并非孤例，而是可以衍生出无限多个。

随着这篇论文的发布，加和性猜想宣告终结。结理论界一方面感到惋惜：秩序的梦想破灭了，解结数的世界比想象中更混乱。另一方面，这也让研究者兴奋：一个新的探索方向被打开，关于解结数的复杂性、随机性与潜在规律，都将成为未来数学研究的重要课题。

来源：老胡科学一点号