摘要：25.已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，5)。
本文难度适宜，适合九年级同学预习。
多个地市的压轴题，通常以抛物线为载体。
本文讲解详细、透彻，推出多种原创解法，侧重初高衔接。
程度极好的初三同学，可参阅文中的高中解法。
25.已知抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，与y轴交于点C(0，5)。
(1)求出抛物线的解析式(要求3种解法)；
(2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，当四边形DEFG的周长最大时，求点D的坐标；
(3)如图2，点M是抛物线的顶点，将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标。
解法一：待定系数法。
2＋bx＋c，求得a＝－1、b＝4、c＝5。故y＝－x2＋4x＋5。12，0)，设其解析式为y＝a(x－x12可设为y＝a(x＋1)(x－5)，再将点C坐标(0，5)代入可求得a＝－1，则解析式为y＝－(x＋1)(x－5)。
12，0)，可知其对称轴。本题由抛物线与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)可知对称轴为x＝2。
故可设解析式为y＝a(x－2)2＋n，再将A、C或B、C两点坐标代入求得a＝－1，n＝9，故y＝－(x－2)2＋9。考场上讲究就快拿到分。您擅长用哪种解法且把握较大，就用哪种解法。
但，只有平时掌握宽广，才有考场上的得心应手、左右逢源。
仔细读题。他说一句，咱列一句。
与x轴平行的直线上的点，纵坐标都相等。
与y轴平行的直线上的点，横坐标都相等。
2＋4d＋5)；点D在第一象限、位于对称轴x＝2右侧，故2＜d＜5。
∵DG⊥x轴，∴G、D两点横坐标相等，xG＝xD＝d，∴点G坐标为G(d，0)；
∵DE∥x轴，∴E、D两点纵坐标相等，yE＝yD＝－d2＋4d＋5，∵线段DE被对称轴(x＝2)垂直平分，即D、E两点关于x＝2对称，
∴设点E横坐标为xE，则有(xE＋xD)÷2＝2。“＝”之前的2表示横坐标的平均，“＝”之后的2表示对称轴。∴xE＝4－d，故点E坐标为G(4－d，－d2＋4d＋5)；∵EF⊥x轴，∴F、E两点横坐标相等，xF＝xE＝4－d，∴点F坐标为G(4－d，0)。
以上，是根据点D在抛物线上设出点D坐标、并限定点D横坐标的范围、进而得出其它相关点的坐标。
往下，根据待求，朝着目标步步逼近。
线段DE＝xD－xE＝d－(4－d)＝2d－4；线段DG＝yD－yG＝(－d2＋4d＋5)－0＝－d2＋4d＋5。则DE＋DG＝(2d－4)＋(－d2＋4d＋5)＝－d22＋10。由题意，四边形DEFG为矩形，
故四边形DEFG的周长为：2(DE＋DG)＝－2(d－3)2＋20。∵－2＜0，∴－2(d－3)2＋20有最大值，当且仅当d＝3时(满足2＜d＜5)四边形DEFG的周长取到最大值20，
第二问基本没难度。
①平行于坐标轴的线段长度，一律等于大坐标减小坐标。如本题DG＝yD－yG、DE＝xD－xE。②如线段倾斜，就用两点间距离公式。
由题意，抛物线顶点M坐标为(2，9)。
他说“将△MBC沿BC翻折得到△NBC，NB与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求点P坐标”。
仔细审题，不难发现，求点Q坐标是个战略关键。
而点Q的来历，是NB与y轴的交点。
点B坐标已知，只要求出点N坐标，就有了直线NB解析式，也就有了点Q坐标。
NB和已知的MB，关于直线BC(y＝－x＋5)对称。
具体说，点N和点M(2，9)关于y＝－x＋5对称。
求点N坐标，我给出三种方法。
求点N坐标方法一：根据点N和点M(2，9)关于y＝－x＋5对称。
求点N坐标方法二：根两直线夹角公式。
纯原创敲字，遇到分数、根号，太麻烦，俺只好文档截图。
求点Q的坐标是必须的。
因为题目说“以QB为直角边的直角三角形”，那当然点Q需要充当直角顶点。
【说明】以上两种方法求点N坐标，均带有高中色彩，且均较麻烦。我之所以原创提供，便于程度极好的同学预习高中，另外我坚持初高衔接、把题讲透。
求点N坐标方法三：初中解法，辅助线构造全等。
过点C作对称轴x＝2的垂线，垂足为H，则CH＝2；且yH＝yC＝5，故MH＝yM－yH＝9－5＝4。由题意，OC＝OB，故∠OCB＝∠HCB＝45°-----①
过点N作NK⊥y轴于点K，由翻折，NC＝MC，且∠NCB＝∠MCB------②
②－①得∠NCK＝∠MCH，易证得Rt△NCK≌Rt△MCH(AAS)，
故NK＝MH＝4，CK＝CH＝2，则OK＝OC－CK＝5－2＝3，
故点N坐标为(－4，3)。
用初中知识很简便的嘛。但有的题，用高中知识却较简便。
求得了点N坐标，结合点B(5，0)，则直线NB解析式为y＝－x＋，令x＝0可得直线NB与y轴交点Q的纵坐标为，即Q(0，)。
题目要求“在对称轴上找一点P，使得△PQB是以QB为直角边的直角三角形，求点P坐标”。
不难理解，以QB为直角边的Rt△PQB，点Q和点B，均有可能作为直角顶点。
情形一的解法一：若点Q是直角顶点，此时PQ⊥QB，
直线QB为y＝－x＋，两直线垂直时，两直线解析式中的k的乘积为(－1)，
故设直线PQ为y＝3x＋b，将Q点坐标代入得b＝，即直线PQ为y＝3x＋，
直线PQ与对称轴x＝2的交点P，横坐标当然为2；
将x＝2代入直线PQ解析式y＝3x＋，得交点P的纵坐标为，故此情形点P坐标为(2，)。
您当然也可以根据“辅助线构造相似”求解。
情形一的解法二：如下图，作PR⊥y轴，由PQ⊥QB知∠2＋∠3＝90°，故Rt△RQP∽Rt△OBQ，故RQ:OB＝RP:OQ，即RQ:5＝2:，故RQ＝6，则OR＝OQ＋RQ＝＋6＝，故此情形点P坐标为(2，)。
情形二：若点B是直角顶点，此时PB⊥QB，依然有类似于情形一的两种解法。
解法一：经过点B(5，0)且与直线QB:y＝－x＋垂直的直线可写为y－0＝3(x－5)，令x＝2得y＝－9，故此情形点P坐标为(2，－9)。
解法二：相似。设对称轴与x轴交于点S，则OS＝2，BS＝3，
由∠PBS＋∠QBO＝90°知Rt△BSP∽Rt△QOB，故SP:OB＝BS:QO，即SP:5＝3:，故SP＝9，
则此情形点P坐标为(2，－9)。
作者简介
中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。
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发文涉及科目主要有中考、高考数学，物理，也有英语，化学，作文。
到了高中，俺依然是您的良师益友。
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来源：圣杰教育