摘要：逆运算应用：如已知\(a^{2m - n} = 8\)，\(a^m = 8\)，利用\(a^{2m - n} = (a^m)^2 \div a^n\)，代入得\(64 \div a^n = 8\)，解得\(a^n = 8\)，考查幂的逆运算变形能力。
一、代数板块
（一）整式运算与幂的性质
幂的运算：
同底数幂乘法：遵循 “底数不变，指数相加”，如\(a^2 \cdot a^3 = a^5\)，避免误算为指数相乘（如错算为\(a^6\)）；
幂的乘方：遵循 “底数不变，指数相乘”，如\((a^2)^3 = a^6\)，需与同底数幂乘法区分；
逆运算应用：如已知\(a^{2m - n} = 8\)，\(a^m = 8\)，利用\(a^{2m - n} = (a^m)^2 \div a^n\)，代入得\(64 \div a^n = 8\)，解得\(a^n = 8\)，考查幂的逆运算变形能力。
整式乘除与合并同类项：
单项式乘单项式：如\(a^2 \cdot (-6ab) = -6a^3b\)，需将系数、同底数幂分别相乘，注意符号与指数计算；
单项式乘多项式：需用单项式分别乘多项式每一项，再合并同类项；
合并同类项：如\(2a + 3a = 5a\)，同类项（字母及指数相同）才能合并，非同类项（如a与\(2a^2\)）不可合并。
（二）因式分解
公式法分解：
平方差公式：如\(x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)\)，需识别 “两项平方差” 结构；
完全平方公式：如\(ax^2 - 6ax + 9a\)，先提取公因式a，得\(a(x^2 - 6x + 9)\)，再用完全平方公式分解为\(a(x - 3)^2\)，考查 “先提公因式，再用公式” 的分解步骤。
（三）代数式求值与 “降次思想”
整体代入求值：如已知\(a^2 + a = 2\)，求\((a + 2)(a - 2) + a(a + 2)\)，先化简代数式为\(2a^2 + 2a - 4 = 2(a^2 + a) - 4\)，代入\(a^2 + a = 2\)，得\(2×2 - 4 = 0\)，体现 “整体代入” 简化计算的思想。
实数运算：如\(\sqrt[3]{8} + (-1)^{2024} - (\pi - 3.14)^0\)，利用立方根（\(\sqrt[3]{8} = 2\)）、有理数乘方（\((-1)^{2024} = 1\)）、零指数幂（\((\pi - 3.14)^0 = 1\)），计算得\(2 + 1 - 1 = 2\)，考查实数的基本运算规则。
（四）“数形结合” 与代数公式
完全平方公式的几何意义：通过图形面积推导\((a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc\)，如已知\(a + b + c = 15\)，\(ab + ac + bc = 35\)，代入得\(a^2 + b^2 + c^2 = 15^2 - 2×35 = 155\)，建立代数公式与几何面积的关联。
多项式乘法与图形拼接：如用x张边长为a的正方形、y张边长为b的正方形、z张长为a宽为b的长方形拼出\((2a + b)(a + 2b)\)的长方形，先展开多项式得\(2a^2 + 5ab + 2b^2\)，故\(x = 2\)，\(y = 2\)，\(z = 5\)，\(x + y + z = 9\)，考查多项式乘法与图形面积的对应关系。
二、几何板块
（一）三角形基础性质
三角形内角和与外角：
内角和应用：如多边形内角和是外角和（\(360°\)）的 4 倍，设边数为n，则\((n - 2)×180° = 4×360°\)，解得\(n = 10\)；
外角性质：如等腰三角形\(EA = ED\)，\(\angle AEC = \angle EAD + \angle EDA = 2\angle ADE\)，当\(\angle AEC\)增大\(16°\)时，\(\angle ADE\)增大\(8°\)，而\(\angle BDE = 180° - \angle ADE\)，故\(\angle BDE\)减小\(8°\)，考查三角形外角与内角的关系。
等腰三角形与等边三角形：
等腰三角形性质：“等边对等角”，如斜坡\(AB = AC\)，则\(\angle ABC = \angle ACB\)（工程人员操作依据）；周长计算需分情况，如两边长为 7 和 5，当腰为 5 时周长\(5 + 5 + 7 = 17\)，当腰为 7 时周长\(7 + 7 + 5 = 19\)，考查分类讨论思想；
等边三角形性质：三边相等、三角均为\(60°\)，中线、高线、角平分线重合，如等边\(\triangle ABC\)中，BD是中线，则BD也是高线和角平分线，\(\angle CBD = 30°\)；含\(30°\)角的直角三角形性质，如\(DF \perp AC\)，\(\angle ADF = 30°\)，则\(AF = \frac{1}{2}AD\)，结合\(AD = 2\)（D是AB中点），得\(AF = 1\)，\(CF = 3\)，再由\(FE \perp BC\)，\(\angle CFE = 30°\)，得\(CE = \frac{1}{2}CF = \frac{3}{2}\)。
（二）全等三角形
全等判定定理：包括 SSS、SAS、ASA、AAS、HL，需结合已知条件选择判定方法：
已知\(\angle BAD = \angle CAE\)，则\(\angle BAC = \angle DAE\)，结合\(AB = AD\)，\(AC = AE\)，用 SAS 判定\(\triangle ABC \cong \triangle ADE\)；
已知\(BF = CE\)，则\(BC = EF\)，结合\(\angle 1 = \angle 2\)，添加\(\angle A = \angle D\)用 AAS 判定全等，添加\(\angle B = \angle E\)用 ASA 判定全等，添加\(AC = DF\)用 SAS 判定全等，而添加\(AB = DE\)（SSA）无法判定全等，考查对全等判定定理的准确理解。
全等应用：通过全等推导线段或角相等，如证明\(\triangle GEF \cong \triangle EDO\)（AAS），得\(GF = OE = 3\)，\(EF = OD\)，为后续求点坐标范围奠定基础。
（三）三角形中的特殊线与点
垂直平分线：
性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，如DE是AB的垂直平分线，则\(DA = DB\)，故\(\angle DAB = \angle B = 35°\)，在\(Rt\triangle ABC\)中，\(\angle BAC = 55°\)，得\(\angle CAD = 20°\)；
尺规作图：作线段的垂直平分线，如作AB的垂直平分线交AC于D，使\(\angle BDC = 2\angle A\)，利用垂直平分线性质\(AD = BD\)，得\(\angle A = \angle ABD\)，故\(\angle BDC = \angle A + \angle ABD = 2\angle A\)。
角平分线：
性质：角平分线上的点到角两边距离相等，如BO平分\(\angle ABC\)，\(OD \perp BC\)，\(OE \perp AB\)，则\(OE = OD = 3\)，\(\triangle AOB\)的面积\(= \frac{1}{2}×AB×OE = \frac{1}{2}×12×3 = 18\)；
逆性质：到角两边距离相等的点在角平分线上，为角平分线的判定提供依据。
（四）轴对称与最短路径
轴对称图形与对称点：
轴对称图形判定：全等形需形状、大小完全相同，如吉祥物 “弗里热” 的全等图形选择；
坐标对称：点\(C(4, 3)\)关于y轴对称的点D坐标为\((-4, 3)\)，关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标不变。
最短路径问题：如牧马人从P到河边饮马再到Q，利用轴对称将P（或Q）关于河边对称，连接对称点与Q（或P），与河边交点即为饮马点，依据 “两点之间线段最短”，考查轴对称在最短路径中的应用。
（五）图形旋转与性质
旋转性质：图形旋转后对应边相等、对应角相等，对应点到旋转中心距离相等，如 “橄榄球” 图形ABCD绕O逆时针旋转\(90°\)得\(A'B'C'D'\)，则\(OD = OD'\)，\(OB = OB'\)，\(OA = OA'\)，据此证明八边形各边长相等（如\(DH = BE = D'H = D'E\)等），且点O到八边形各边距离相等（角平分线性质），但各内角不相等、到各顶点距离不相等，考查旋转性质与图形性质的结合分析。
三、综合与拓展板块
（一）几何综合证明
如第 25 题，（1）利用点C与\(C'\)关于AB对称，得\(\triangle ABC \cong \triangle ABC'\)，\(\angle C = \angle C'\)，结合\(AE = AC\)得\(\angle C' = \angle AEC\)，再由四边形内角和得\(\angle EAC + \angle EBC = 180°\)；（2）延长DF交BC于N，作\(EM \parallel BC\)，证明\(\triangle BNF \cong \triangle BDF\)、\(\triangle EMG \cong \triangle CDG\)，得\(CG = EG\)，综合考查轴对称、全等、平行线性质，需构建辅助线整合知识点。
（二）新定义问题
如 “正矩点” 定义：\(\angle MPN = 90°\)且\(PN \leq PM\)，则N是M关于P的 “正矩点”。（1）判断点\(S(1,4)\)关于原点O的 “正矩点”，需满足\(\angle SOP = 90°\)且\(OP \leq OS\)，得出\(P_1\)、\(P_3\)符合；（2）当E与\(A(0,3)\)重合时，作\(\triangle GEF \cong \triangle EDO\)，得\(y_C = OE + EF = 3 + OD\)，结合\(OD
（三）实际应用问题
如 “π 节” 活动规则：初始 2 枚 π 币，每参与活动消耗 2 枚，挑战成功获奖励。（1）只成功 1 个活动时，需成功奖励≥8 枚（保证参与 5 个活动），故为 “汉诺塔”（奖励 8 枚）；（2）成功 2 个且第四个活动成功，分情况计算剩余 π 币，得可能值为 2、4、6 枚，考查实际问题中的逻辑推理与分类讨论。
来源：易道