灯珠伏安特性理论分析

摘要：昨天测试了这种小型白炽灯的伏安特性。可以看到它具有比较特殊的曲线形式。特别是，通过计算电流变化与电压变化的比值，所得到它的动态电阻，可以看到具有特殊的峰值分布。只要温度上升和下降足够慢，得到的伏安曲线在电压上升和下降过程是一致的。下面希望通过对小灯泡热耗

一、前言

昨天测试了这种小型白炽灯的伏安特性。可以看到它具有比较特殊的曲线形式。特别是，通过计算电流变化与电压变化的比值，所得到它的动态电阻，可以看到具有特殊的峰值分布。只要温度上升和下降足够慢，得到的伏安曲线在电压上升和下降过程是一致的。下面希望通过对小灯泡热耗散理论建模推导出它对应的伏安特性曲线。

（1） 假设灯丝的电阻与温度成线性关系： ;

（2） 假设灯丝热辐射与温度成四次方关系：

（3） 假设灯丝热传导耗散功率与温度成正比：

首先，给出一些基本假设。假设电灯泡的钨丝电阻与温度呈线性关系。灯丝热辐射功率与温度呈四次方关系；钨丝通过热传导耗散功率与温度呈正比。根据所测量得到的伏安曲线可以计算出对应的温度。再根据输入电功率等于辐射功率加上热传导功率，便可以得到能量平衡方程。将方程中右边的系数进行简化。最终得到钨丝在功率守恒情况下的伏安曲线守恒方程。

2、电压电流关系

在电压作用下，对应的电流为。此时输入电功率为：，对应的电阻为。假设对应的温度为，根据基本假设 （1），可知：

所以：，根据假设 （2）、（3），输入电功率等于耗散功率与辐射功率之和：

将分别以替换，那么有：

3、数据拟合

使用前面所测量得到的数据，来拟合钨丝伏安特性能量守恒方程中的系数。最终确定下其中的 b,C,D 三个参数的数值。通过这个数值，可以计算出不同测量电压下的钨丝辐射功率。可以看到与输入的电功率曲线基本上是吻合的。

▲ 图1.2.1 实际测试数据

$$C = 1.854 \times {10

{ - 4}}

D = 4.62 \times {10{ - 2}} $$

▲ 图1.2.2 绘制UI以及拟合 UI

根据前面拟合过程，对于温度无法进行直接拟合。下面假设实验室温度摄氏度。

参数也无法直接估计，根据 金属钨的温度系数[2] , 可以知道：

那么

三、拟合曲线

前面钨丝伏安特性所满足的功率守恒公式中的参数通过实际测量数据拟合求出，利用这个方程，可以针对每一个电压 U 求解出对应的电流 I。利用 sympy 函数中的 nsolve 数值方程求解工具，计算实验中每一个电压对应电流。这样便可以获得模型对应的预测电流。实际计算结果中，除了在电压非常小的时候计算出的电流出现负值。其它电压对应方程求解的电流与实际电流还是非常吻合的。只是在伏安曲线拐点处，还是出现了比较大的差异。