摘要：双螺旋点扩散函数（Double-Helix Point Spread Function，DH-PSF）作为双螺旋光束的数学表达形式，代表着一种三维光学响应。该函数包含两个主瓣，当物体的轴向位置发生改变时，主瓣会围绕图像中心旋转。值得注意的是，这种旋转角度与物体

引言

双螺旋点扩散函数（Double-Helix Point Spread Function，DH-PSF）作为双螺旋光束的数学表达形式，代表着一种三维光学响应。该函数包含两个主瓣，当物体的轴向位置发生改变时，主瓣会围绕图像中心旋转。值得注意的是，这种旋转角度与物体轴向位置的变化呈现出近似线性的关系，同时主瓣的大小、主瓣间的距离以及清晰度基本保持恒定。

基于上述特性，在物体通过双螺旋PSF系统成像后，运用复原算法对所成图像进行逆变换操作，就能获取物体的轴向信息与横向信息，进而实现对物体三维信息的完整获取。

图1：Standard PSF vs DH-PSF

如图1所示，一个 DH-PSF 系统是在标准成像系统的傅里叶平面加入一个特殊设计的相位板, 此相位板是其透射率函数在傅里叶变化的聚焦区形成双螺旋的形式。用DH-PSF进行三维纳米定位时, 分子的横向定位点通过两个旁瓣的中点来估计, 而其轴向位置则根据两个旁瓣中心连线的旋转角度确定。

2 DH-PSF 实现三维定位原理

实现 DH-PSF的主要方法是通过位于Laguerre-Gauss（LG)模式平面上特定直线上的LG模式的线性叠加。LG光束模式的线性叠加构成了自成像光束。

2.1单个LG光束模式

LG光束模式为

上式的组成如下：

其中，

广义拉盖尔多项式中的整数 n和m 应当满足

通过改变广义拉盖尔多项式中的m,n参数即可得到不同的光束强度，如图2所示。

图2：不同m, n模式数的 LG 光束的强度分布

2.2多个LG光束模式的相干叠加---DH光束

图3：拉盖尔-高斯模式平面

如图3所示，将特定直线上的所有模式进行等权重叠加，即可形成一个新的光场分布函数，这种双螺旋旋转光束在传播方向上不断旋转，其旋转速度取决于位于 LG 模式平面上所选直线的斜率。

当取不同的 LG 模式（m,n）进行叠加时，即可得到不同的双螺旋函数，从而得到相应的随轴向距离变化的螺旋光束。

双螺旋光束基于广义自成像理论，通过多个位于拉盖尔-高斯（LG）模式平面上特定的 LG 光束模式线性叠加而成。

例如，以选取LG 模式(m,n)中的(1,1)，(3,5)，(5,9)，(7,13)，(9,17)进行等权重叠加为例，即可得到双螺旋点扩散函数的强度和相位分布。

图4：双螺旋光束的强度分布（a）和相位分布（b）

双螺旋光束在空间上呈双螺旋分布，在其横截面上，轴对称的两个主瓣随轴向距离变化绕中心不断旋转。如图 5所示为随着轴向距离的变化，双螺旋光束绕图像中心旋转的情况。从图5中可见，光束的两个主瓣的大小、主瓣间距离以及图像模糊程度基本不变，且旋转速率保持不变。

图5：双螺旋光束随轴向距离变化旋转情况

3双螺旋点扩散函数的优化

影响三维成像质量的主要因素有图像的横向分辨率、轴向分辨率等，由于基于双螺旋点扩散函数的三维成像方法是通过对所得“孪生”图像进行分析，因此双螺旋点扩散函数的两个主瓣的效率对成像质量的影响也非常大，旁瓣与背景光强会影响成像质量并降低三维信息提取精度。

对于横向分辨率，可以通过调节入射光波长等方法进行改善；对于轴向分辨率，可以通过增大光学系统中透镜的数值孔径或减小透镜焦距等方法进行改善。

由双螺旋点扩散函数的数学模型及仿真结果可知，现有的双螺旋点扩散函数的主要缺点是它的传递函数效率非常低。传递函数由双螺旋点扩散函数主瓣中的能量与入射到掩模板上的全部能量的比率决定。

其效率低的原因主要有两个：（1）双螺旋点扩散函数的振幅型掩模板对光的吸收率很高，产生的双螺旋光束光强较低。（2）一部分光束能量分散在了旁瓣上，入射光能量没有完全集中在两个主瓣上，进一步减少了有用的光子数，降低了光能利用率。因此，图4所示的光能传播效率仅有 1.8%。为了提高双螺旋点扩散函数和成像系统的光能利用率，提出了对双螺旋点扩散函数的优化算法。

为了提高 DH-PSF 系统的光能利用率, 我们通过优化算法设计了相位片, 使 DH-PSF 两个主峰的强度得以提高。

与原始 DH-PSF 掩膜板相比, 目前的DH-PSF 相位板需具备以下几个特点: 首先, 理论上讲应是纯相位调制, 从而尽可能避免掩膜板本身的光吸收; 其次, 在给定的离焦范围内, 始终保持双螺旋光束; 最后, 光能应集中在主峰, 尽量减少旁瓣上的光能分布。

目前, 基于相位恢复的衍射光学元件设计方法主要是针对一个输入平面到单一输出平面的相位恢复问题,即二维相位恢复问题。

我们所要设计的相位板的主要功能是当光束通过相位板以后在垂直于光束传播方向 z 的各个不同位置输出平面上的光束均满足特定的分布, 即实现单一输入平面到多个输出平面的振幅相位恢复问题, 也即三维振幅相位恢复问题。

图6：优化算法流程

如图6(a)所示, 入射光束经光学调制后产生特定三维光场空间分布。相位板置于4f 系统的频谱面, 输出面与相位板面形成菲涅尔变换关系, 形成在传播方向 Z 轴的不同垂直位置(横截面) 的光场分布, 如图6(b) 所示。

设计流程如下: 选定频谱面上的相位板初始值作为输入函数, 通过与输出面的菲涅耳变换关系得到在不同 n 个输出截面的光场分布, 光场分布利用复振幅表示, 将各光场分布的 n个振幅量分别用期望值替代, 结合原始相位值得到期望的复振幅分布, 进而对 n 个期望函数进行菲涅尔逆变换得到对应频谱面的复振幅分布, 加权平均后, 得到迭代过程所需的新的输入函数, 并将其引入到下一个循环当中。在上述计算中, 通常定义各个复振幅所占权重是均等的。

把每个输出平面的约束条件以集合的形式进行描述, 从而得到满足每个输出平面光场不同要求的输入面光场函数, 通过多次迭代过程直到程序收敛得到最优化结果, 即为所要设计的优化算法。

衍射光学元件一般都是复振幅调制, 衍射效率往往很低, 因此设计纯相位调制的光学元件非常重要。

在上述优化算法中, 需要将单一输入平面到多个输出平面的振幅相位恢复问题转变为纯相位恢复问题. 因此, 在优化算法中, 除了对输出面引入约束限制, 同时还需要对输入面进行约束限制, 从而得到纯相位调制的相位恢复算法。

转 180°的轴向范围内选取了 9 个不同的位置加入了优化函数进行迭代优化，优化结果使光束沿轴向的横截面强度分布形成类高斯函数形式，并使双螺旋点扩散函数的双主峰强度值达到最优化。优化函数由两个空间分离的高斯函数组成，高斯函数的中心位置和半高全宽与双螺旋点扩散函数的两个主瓣相同，从而达到增强主瓣光强减弱旁瓣光强的目的。经过 20 次迭代后，优化趋于收敛，优化后的高效双螺旋点扩散函数的主峰强度值为原始函数主峰强度的 33 倍，效果明显改善。

三维信息复原算法

如图7所示，当物体通过编码了双螺旋点扩散函数的相位掩模板成像在CCD 上时，所得到的图像中既编码了图像的横纵向二维信息也编码了轴向位置信息。由于双螺旋点扩散函数两个主瓣绕质心旋转的角度变化与物体距相位板的轴向位置变化具有近似线性的关系，我们可以通过提取图像中编码的双螺旋函数主瓣旋转角度反推出物体相应的轴向位置信息，并根据位置信息通过对图像进行傅里叶逆变换得到物体的原始二维信息。

图7：3D成像系统的示意图

双螺旋点扩散函数获得的编码图像由具有深度信息的“双模糊”图像组成。通过解码每个横向位置处的“孪生”图像信息，通过解码所得到的深度信息，即可用相应的点扩散函数估计值进行反卷积算法来恢复物体信息。

图8：图像恢复和深度估计处理流程图

使用的图像重构算法是基于 Berlich 的重构算法。整个重构过程的流程图如图8 所示。在重构前，实际测量了相应的双螺旋点扩散函数的关键参数，包括旋转速率、主瓣间距离、主瓣的径向尺寸和轴向尺寸。此外，为了减小噪声的影响，还采用了背景去除、去噪等预处理方法。为了保证重构的图像的无缝性，减少锐边反卷积引起的环形伪影，采用了滑动二维汉宁窗（Hann-windows）将整个视场分割为了若干子窗口。假设子窗口内的所有对象都位于均匀的深度位置，对每个子窗口进行单独的计算，并通过将所有子窗口放在一起来重构最终的图像。每个子窗口的重构过程包括对深度的估计和图像的重建。

得到的加窗图像的倒频谱在由极半径[0.8y,1.2y]定义的环形窗口处显示有两个中心对称的峰，并且两个峰的极角精确地等于DH-PSF在对应子窗口的位置方向。然而，如果当前子窗口缺少目标特征，这两个峰值常常被噪声淹没，这极大地影响了极角的识别精度。

为了解决这一问题，在重构过程中使用了一个阈值函数（最大值的一半）来消除倒谱中大多数低电平的噪声。之后，为了描述倒频谱的浓度计算了倒谱分布密度随极角的变化关系。假设高阶噪声是随机分布的，则可以在分布密度的最大节点处找到两个峰值的极角。通过将得到的极角θ除以预先测量的参数k可以很容易地计算出物体的轴向深度。

一旦物体的轴向深度确定，通过测得的 PSF 的参数即可得到相应子图的PSF。之后，每个子窗口的图像可以通过反卷积来恢复。不合适的反卷积算法将导致恢复图像产生明显的伪影。最后，在处理完所有的子窗口之后，通过按特定顺序重新组合结果，可以恢复深度图和扩展自由度图像。

具体复原过程主要分为以下三个步骤：

4.1图像获取

如图 6所示为物体经过相位掩模和透镜在成像面所成图像的系统示意图，物体经过该三维成像系统后得到“孪生”像。

对于我们的系统的调制双螺旋点扩散函数，主瓣的形状和两主瓣间距离可以认为是常数。

4.2深度图复原

从原始图像中提取物体的深度分布的关键是确定“孪生”图像旋转角的横向分布。

为了减少深度图复原的数据量，子图像分布可以由窗口大小除以采样因子q（其通常为 2 到 4 的量级）得到的减小后速率进行采样。

因此，所获得的倒频谱是编码物体分布的倒谱与取决于噪声以及编码物体的空间频率的二次叠加。倒频谱计算的关键特性是将卷积映射为加法。

考虑到光学系统的放大倍数 V，物体的空间频谱必须在1/(V·p)处大于第一调制最小值的区域。换句话说，物体成像面必须包含与物空间中的双螺旋 PSF 扩展 V·p相当或更小的空间特征。

此外，在物体特征呈周期性的情况下，峰值识别会变得模糊，导致图像频谱产生等效调制。因此倒谱域中相应的附加峰值可能破坏峰值识别并导致错误的深度信息。

影响深度估计的第二个主要因素是噪声。如果物体的空间频率在所需范围内不显著，则噪声产生的峰值成为倒频谱的主要影响因素，影响了对倒频谱和脉冲识别的准确度。

因此，为了使所成图像包含更多的物体特征，需要以牺牲横向深度分辨率为代价来增加窗口大小，并且这两个限制是所有被动照明光学系统固有的。

事实上，所需考虑的邻域的大小对于每个目标点的鲁棒深度估计是至关重要的。由于倒谱中的噪声取决于每个窗口中的空间频率含量，所以很难对 M 和 N 作出合理的选择。因此必须根据所需成像的特定物体来设置所需的窗口大小和相应的噪声平均程度。

4.3物体重构

为了从单次采样中重建出原始的目标信息，需要将“孪生”图像合并，这可以通过将双螺旋 PSF 进行反卷积操作来实现。然而，由于几何像差、色差以及机械系统误差等，PSF 的形状与原始设计相比可能会有些失真，因此直接进行反卷积可能产生严重的伪影，伪影的大小取决于这些形状偏差。一般来说，可以通过实验确定精确的 PSF 分布，然而由于潜在的 PSF 畸变的横向和轴向依赖性，例如出现明显的离轴畸变的情况下，可能需要测量所需的整个三维区域内的二维PSF 形状。因此除了采用一般的校准过程外，还需要结合查找线性关系表或基于分析或数值近似的复杂插值方案。除此之外，还可以使用盲反卷积算法，但由于迭代优化程序的特性，这种算法对数值的要求很高。

为了方便快速可靠的解码图像，提出的物体重构方法主要是针对去除所得图像中的“孪生”图像并且恢复部分边缘清晰的物体特征。

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