摘要：这分为多个问题，从O到A，是简单的斜抛的运动，从O到B是有高度或者在斜面上的斜抛运动，但最后只是运动轨迹y=-h的x值罢了。

这篇带来一系列的斜抛问题，斜抛问题见：“经典力学2.1：斜抛运动”。

Consider a ball thrown through the air, not necessarily vertically. We will neglect air resistance in the following discussion.

本文的问题都是忽略空气阻力的。

设扔出的初速度为，与水平面的夹角为α，如下图。

这分为多个问题，从O到A，是简单的斜抛的运动，从O到B是有高度或者在斜面上的斜抛运动，但最后只是运动轨迹y=-h的x值罢了。

初始条件分解：

运动方程分解：

它的轨迹是一个二次函数，好，接下来让我们做题吧！

(a) 对于给定的初速度，当球体返回地面时，应以何种仰角抛出才能使其水平飞行距离最大化？假设地面为水平面，且球体从地面高度释放。

(b) 若地面以角度β向上倾斜（或当β为负值时向下倾斜），最佳抛射角应为多少？

(a) For a given initial speed, at what inclination angle should a ball be thrown so that it travels the maximum horizontal distance by the time it returns to the ground? Assume that the ground is horizontal, and that the ball is released from ground level.

(b) What is the optimal angle if the ground is sloped upward at an angleβ(or downward, ifβis negative)?

问题a很简单，我们直接令y=0，直接得到

有两个解：

所以落地点最大值在初始倾角处，最远距离。

解得落地点

我们现在要计算它的最大值：

当时水平距离最大，即时，最远。

下一个问题：

(c)在上述(b)问题中最远距离的情况下，证明初始速度和末速度垂直。

(c)In the maximum - distance case in the question (b), show that the initial and final velocities are perpendicular to each other.

问题c依然很简单，只不过我们需要计算一下末速度矢量，既然我们知道了水平位移和水平速度，就可以直接写出运动时间

（利用三角函数恒等式处理）那么竖直末速度就是

直接写出初末速度矢量：

对两个矢量做点乘运算

然后，我们对这个结果深入分析一下，初速度和斜面的夹角是

如下图所示

我们发现初速度矢量方向恰好是竖直方向和斜面夹角的平分线，同理也可得到末速度矢量方向是竖直方向和斜面另一个夹角的平分线，这个结果也反映了牛顿力学的时间反演对称性，轨迹可逆。

(d) A ball is thrown at speedvfrom zero height on level ground. At what angle should it be thrown so that the area under the trajectory is maximum?

问题d也简单，直接积分计算面积：

求导

得到有效解，即，最大面积。

问题(e) 一个球以速度v从高度为h的悬崖边缘抛出。应以什么仰角抛出才能使水平飞行距离最大？这个最大距离是多少？假设悬崖下方的地面是水平的。

(e)A ball is thrown with speedvfrom the edge of a cliff of heighth. At what inclination angle should it be thrown so that it travels the maximum horizontal distance? What is this maximum distance? Assume that the ground below the cliff is horizontal.

问题e就是问题a的变种，直接令y=-h就可以解：

求导

解得

最大距离是

问题（f）一个球以速度v从水平地面零高度抛出。设α为抛出角度，使得该轨迹的长度达到最大值。求α。

(f)A ball is thrown at speedvfrom zero height on level ground. Letαbe the angle at which the ball should be thrown so that the length of the trajectory is maximum.Calculate α.

这个问题看起来和计算面积的差不多，但是我们只能给出角度满足的方程，给不出解析解，具体角度需要借助计算机了，下面来算一下方程吧

求导

得到待求角度满足的方程

数值解是α≈56.5°。

来源：生活小篇章