摘要：如图所示，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC垂足是D，则有以下三个定理成立并可得出若干有趣的结论。

如图所示，在三角形ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC垂足是D，则有以下三个定理成立并可得出若干有趣的结论。

构造相似三角形有平行和垂直这两种经典手法。基本图形从直角顶点向底边作垂线，构造出的相似三角形是得出众多结论的源头。

结论(2)被很多数学书称为射影定理。但是，我心中的射影定理是另外一个(或三个)。这里，姑且把结论(2)称为射影定理吧。

BD和DC可以看作两条直角边在斜边上的射影，所以结论(2)被称为射影定理。

由结论(2)可知：在直角三角形中，每一条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。

射影定理的几何意义请看下图：

正方形AF的面积等于长方形BL的面积；正方形AK的面积等于长方形CL的面积。

接下来请看基本图形的结论(3)至结论(5)：

结论(3)告诉我们：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上的射影的比例中项。

结论(4)告诉我们：在直角三角形中，两直角边的平方比等于它们在斜边上的射影之比。

结论(5)给出了求斜边上的高的公式。

接下来请看勾股定理和直角三角形三高关系定理，有趣的是后者可以看作倒数形式的勾股定理，揭示了三条高线之间的隐秘关系。

结论(6)就是大名鼎鼎的勾股定理。

结论(7)就是倒数勾股定理。

我们用基本图形标注的数字来验证以上结论：

lcm指的是最小公倍数，gcd指的是最大公约数。

利用射影定理很容易证明勾股定理。最后给出欧几里得证明勾股定理作为本文的结束。

《几何原本》用上图证明了第一卷的命题47(勾股定理)。

图片来自《几何原本》。

欧几里得证明非常经典。用到了证明两个三角形全等的判定方法“SAS”，用到了平行公理，通过等积变换(网友熟悉的拉窗帘)证明了射影定理，从而得到勾股定理。

欧几里得是一个伟大的数学家，凭借他的直觉提出了平行公理(第五公设)，而不是作为定理试图去证明它。

由于欧几里得的证明底层逻辑依赖于平行公理，所以可以得出结论：在欧氏几何(平面几何)中勾股定理成立，在非欧几何中勾股定理不成立。

科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。

欧几里得证明的总结。

来源：科普一些小知识