九年级期中试题18题深度解析特殊案例启发下的图形构造与列式计算

B站影视 2024-11-17 04:13 3

摘要:如图1,⊙O是△ABC外接圆,D为弧BC上一点,若AD经过△ABC的内心I,且∠,则的值为 ▲ .

九年级期中试题第18题深度解析:特殊案例启发下的图形构造与列式计算

如图1,⊙O是△ABC外接圆,D为弧BC上一点,若AD经过△ABC的内心I,且∠,则的值为 ▲ .

图1

解法一:特殊位置法

D为弧BC上一点(任意一点),求的比值

∴比值与位置无关,那么即可用特殊位置法去求得结果,特殊位置中相对比较容易求解的是D点在弧BC的中点处。如图2

图2

设半径为r,则AB=AC=r

∴==

解法二:构造全等法

如图3,延长AB到点G,使得BG=AC,连接DC、DB、DG,易证三角形ADC≌三角形GDB(SAS)。

∴AD=GD

可由∠且I为内心,得∠BAD=30°

∴三角形ADG为顶角为120°得等腰三角形

∴=

图3

解法三:构造全等法

如图4,解题过程类似解法二,,延长AC到点E,使得CE=AB,连接DC、DB、DE,易证三角形ADC≌三角形GDB(SAS)。

∴AD=ED

可由∠且I为内心,得∠CAD=30°

∴=

图 4

解法四:构造全等法

如图5,过D点分别作AB、AC的垂线段DE、DF,垂足分别为E、F两点

易证△DBE≌△DCF(SAS)

∴AB+AC=AE+AF

∴AE=AF=

∴∴=

图5

解法五:通解通法-三角函数法(用到高中的三角函数公式)

如图6,构造直径AE,连接EB、EC、ED,得三个直角三角形ABE、ADE、ACE

∵AB=AE*COSα

AC=AE*COS(60-α)

∴AB+AC=AE*2sin60*cos(30-α)

∵AD=AE*cos(30-α)

图6

来源:初中数学课外提升

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