摘要：今天就来和大家梳理一下从“勾股定理” 到 “费马大定理”的3000年数学远征。在众多数学定理中，勾股定理不仅有其简洁的形式更有着深远的影响。它不仅是一块基石，更是灯塔，指引我们迈向一个又一个更为抽象的数学高峰。

你有没有想过，初中课本里那个简单的勾股定理，其实是一条连接古代智慧与现代数学的桥梁？

今天就来和大家梳理一下从“勾股定理” 到 “费马大定理”的3000年数学远征。在众多数学定理中，勾股定理不仅有其简洁的形式更有着深远的影响。它不仅是一块基石，更是灯塔，指引我们迈向一个又一个更为抽象的数学高峰。

公元前1700年：古巴比伦和古埃及的“经验的萌芽”

数学来源于日常的实践生产活动。大约在公元前1700年，古巴比伦人就已经在实践中掌握了勾股定理的奥秘。现藏于美国哥伦比亚大学的普林顿(Plimpton) 322号泥版，就是一份惊人的证据。这块泥版上记载了15组勾股数。这些数字可不是（3,4,5）、（5,12,13）这样的简单组合，它甚至包括了（12709, 13500, 18541）这样复杂的数组。这些数字这强烈表明，巴比伦人可能不仅仅知道勾股定理特例，而且很可能已经掌握了一种计算勾股数的通用方法。

大约在同时期的在古埃及，当时的土地测量员被称作“拉绳人”。他们将绳子通过打结，分成12等份，然后按照3、4、5的比例构成一个直角三角形。虽然，一些数学历史的研究人员指出，这一方法“从未在任何埃及文件上得以证实”。但这个传说一直流传至今。

克莱因对此评价道：“埃及人和巴比伦人只是把几何作为实用工具，他们只是把算术和代数用来解有关面积、体积及其他几何性质的问题”。总体而言，巴比伦和埃及对勾股定理的认识主要停留在经验性和实用性的层面。他们知道“怎么做”，但似乎没有深入追问“为什么是这样”。 他们播下了种子，但尚未让它长成参天大树。

公元前1100年：古代中国的“形数统一”

在中国，最古老的记载见于《周髀算经》。虽然这本书约成书于公元前1世纪，但记载了更早的对话。书中提到，公元前11世纪的周公与大夫商高对话。商高说：“勾广三，股修四，径隅五”。这明确提出了直角三角形三边比例为3:4:5的特例。因此，勾股定理在中国又被称为“商高定理”。

《周髀算经》中还有另一段记载：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股，勾股各自乘，并而开方除之，得斜至日”。这清晰地表述了勾股定理的普遍形式。这表明，中国人对勾股定理的认识，早已超越了特例，上升到了一般规律。

真正的突破是随后对其完整的证明。中国数学史上，第一个对勾股定理进行完整证明的人是三国时期的数学家赵爽（约公元3世纪）。他在为《周髀算经》作注时，写下了《勾股圆方图说》，并附上了著名的“赵爽弦图”。这个证明，是数学史上最优雅的证明之一，至今仍被全球各地的数学教材所采用，被誉为“无声的证明”的经典案例。他的证明思路清晰而美妙，如下图：

就这样，通过精妙的图形分割和简单的代数运算，定理得到了完美的证明。这体现了中国古代数学“形数统一”的核心思想：将几何图形与代数运算紧密结合。

数学家吴文俊对此高度评价：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的……十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”

公元前570年: 古希腊，毕达哥拉斯与演绎证明的诞生

在西方，这一定理与哲学家毕达哥拉斯（约公元前570–495年）的名字紧密相连。据传说，他在发现这一定理后，兴奋地宰杀了一百头牛来庆祝。因此，这个定理在西方也被称为“毕达哥拉斯定理”，或戏称为“百牛定理”。

然而，毕达哥拉斯学派的证明早已失传。我们今天能看到的最早的完整证明，来自另一位希腊几何学巨匠——欧几里得。在他的不朽著作《几何原本》第一卷的第47命题中，他给出了一个纯粹几何的证明。欧几里得的证明方法与赵爽截然不同，证明过程中利用了全等三角形、和面积性质等几何知识，欧几里得的证明是在一个严谨的演绎体系之内完成的，里边的逻辑推理都是基于他创建的公理体系。

从比较视角看，各个古代文明对勾股定理的认知各有特点：

中国的赵爽和古希腊的毕达哥拉斯学派（通过欧几里得）分别给出了这一定理的严格证明，代表了两种不同的数学传统，但都达到了理论层面的抽象。证明才是数学的本质，这也是为什么数学史家只将完整的贡献归功于中国和古希腊的原因。对特例的发现和经验性的应用，与将其作为一般性定理并给出严格证明，是两种不同层次的数学成就。

勾股定理目前有超过400多种证明方法, 这些方法构成了一个丰富多彩的数学博物馆，而其中一些历史名人的证明尤为引人入胜。印度数学家婆什迦罗、文艺复兴巨匠达·芬奇、美国前总统詹姆斯·加菲尔德，爱因斯坦等等。即使到了现在，人们对于发现新的证明方法也是乐此不疲。2024年，两位美国高中女生Ne’Kiya Jackson和Calcea Johnson在《美国数学月刊》上发表了勾股定理的五个全新证明，这些证明基于三角学，与已知的400多种证明都有明显不同。这些证明不仅解决了几何问题，更折射出不同时代的数学思想和创新精神。每一种证明都是一扇窗口，让我们看到不同时代、不同文化背景下的数学思考方式。

勾股定理的证明史告诉我们，同一个真理可以通过多种路径抵达，这种多样性正是数学丰富性和生命力的体现。从这些证明中，我们看到的不仅是一个几何定理的多种证法，更是人类理性探索的壮丽画卷——跨越时空，连接古今，永不停息。

多领域的开拓

勾股定理带来的影响不仅仅几何上的。在代数，解析几何，相对论中，都能看到勾股定理的身影。

在关于勾股定理影响深远的众多领域和问题中，有一个不得不提，它就是费马大定理。

1637年： 此处的空白太小，写不下

前文已经叙述了，很早之前，人们就已经发现，存在无穷多组像（3,4,5）这样的正整数，能满足 a² + b² = c²。这些数组被称为“勾股数”（在西方称为“毕达哥拉斯三元组”）。古希腊数学家欧几里得甚至在《几何原本》中给出了生成勾股数的一般公式：选取两个正整数 m > n > 0，那么 a = m² - n², b = 2mn, c = m² + n² 就构成一组勾股数。这个公式清晰地表明，方程 x² + y² = z²拥有无穷多组正整数解。

一个自然而深刻的问题随之而来：如果指数不是2呢？方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ，当 n > 2 时，是否也存在正整数解？

1637年，法国数学家皮埃尔·德·费马在阅读古希腊数学家丢番图的《算术》时，对勾股数问题产生了浓厚兴趣。在思考勾股定理的推广形式时，费马在书页边缘写下了那段名垂青史的批注：“不可能将一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个四次幂写成两个四次幂之和；总的来说，不可能将一个高于二次的幂写成两个同次幂之和。”

用现代数学语言表述，费马断言：当整数n > 2时，关于x,y,z的方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ 没有正整数解。这就是著名的费马大定理（Fermat's Last Theorem）。

费马在批注中还俏皮地写道：“我发现了一个真正美妙的证明，但此处的空白太小，写不下”。这句话成为了数学史上最著名的悬念，激发了无数数学家的探索热情。

350年的集体智慧

费马的“空白”折磨了世界上最聪明的头脑长达358年。为了证明这个看似简单的断言，数学家们发展出了一整套全新的数学工具。这场征途上的关键人物和里程碑数不胜数：

最终的突破，来自英国数学家安德鲁·怀尔斯。他从小就被费马大定理迷住，并在成年后秘密地投入了这个问题的研究。经过七年孤独而专注的努力，他于1993年在一个学术会议上宣布了证明。

然而，审查过程中发现了一个致命的缺陷。怀尔斯又花费了一年多的时间，在几乎绝望之际，与他的学生理查德·泰勒合作，最终修补了这个漏洞。1994年，完整的证明正式发表。

怀尔斯的证明长达130页，其核心正是证明了谷山-志村猜想对于一类半稳定的椭圆曲线成立。通过一个精妙的逻辑链条，他证明了：如果费马大定理不成立（即存在反例），那么就会构造出一个不符合谷山-志村猜想的椭圆曲线。因此，证明了谷山-志村猜想的相关部分，就等于证明了费马大定理。

这个证明运用了20世纪最前沿的数学工具——模形式、伽罗瓦表示、椭圆曲线等。这些概念在费马的时代根本不存在。这也让绝大多数数学家相信，费马当年声称的“美妙证明”即使存在，也一定是错误的或不完整的。他或许有一个巧妙的思路，但绝不可能预见三个多世纪后的数学发展。

从勾股定理到费马大定理，这是一场跨越三千年的数学远征。它始于巴比伦的泥版，经过赵爽的弦图和欧几里得的几何演绎，在费马的一个旁注中升华为一个终极难题，最终在怀尔斯的手中得以解决。最深刻的数学问题，往往源于最朴素的观察。勾股定理这个源自测量土地的实际问题，最终指引数学家走向了现代数论和代数几何的辉煌殿堂。这条道路，展现了人类数学思维的多样性与统一性。

科学史家戴维·林德伯格的话，为此做了最好的注解：“我们必须尊重先辈们研究自然的方式，承认这种方式尽管与现代方法相去甚远，却仍是重要的，因为它是我们现代人理智生活的先驱。这才是理解我们现在之所以是这个样子的惟一合理途径。”

当怀尔斯在1994年最终完成证明后，他感慨道：“从某种意义上说，我感到了些许失落，这样一个漫长的探索终于结束了。但是同时也感到了极大的满足。”这种探索的满足感，正是数学永恒魅力的最佳证明。而下一个“费马大定理”，或许正隐藏在某本古老书籍的空白处，等待着下一个痴迷的灵魂。

来源：叙数谈化讲理