2023北京重点校初三（上）期中数学汇编：相似三角形

摘要：例：\(DE \parallel BC\) 时，\(\angle ADE = \angle B\)，\(\angle AED = \angle C\)，故 \(\triangle ADE \backsim \triangle ABC\)（如第 3、4、14 题

一、相似三角形的判定定理

相似三角形的判定是核心基础，需熟练掌握 “两角对应相等”“两边对应成比例且夹角相等”“三边对应成比例” 三大定理，题型中高频出现以下判定场景：

1. 两角对应相等（最常用）

平行线衍生角相等：若一条直线平行于三角形一边，与另外两边相交，形成的三角形与原三角形相似（“A” 型、“X” 型相似模型）。

例：\(DE \parallel BC\) 时，\(\angle ADE = \angle B\)，\(\angle AED = \angle C\)，故 \(\triangle ADE \backsim \triangle ABC\)（如第 3、4、14 题）。

直角三角形隐含角相等：直角三角形中，斜边上的高将原三角形分为两个与原三角形相似的小三角形（“双垂直” 模型）。

例：\(Rt\triangle ABC\) 中，\(CD \perp AB\)，则 \(\angle A = \angle DCB\)，\(\angle B = \angle ACD\)，故 \(\triangle ABC \backsim \triangle ACD \backsim \triangle CBD\)（如第 10、32、40 题）。

对顶角 / 公共角 + 余角相等：两组角中一组为公共角或对顶角，另一组角由 “同角的余角相等” 推导。

例：\(\angle A = \angle D\) 且 \(\angle AOB = \angle DOC\)（对顶角），故 \(\triangle AOB \backsim \triangle DOC\)（如第 5、26 题）。

2. 两边对应成比例且夹角相等

已知比例关系 + 公共角：若两组边对应成比例，且夹角为公共角，则三角形相似。

例：\(AD \cdot AB = AE \cdot AC\) 变形为 \(\frac{AD}{AC} = \frac{AE}{AB}\)，且 \(\angle A = \angle A\)（公共角），故 \(\triangle ADE \backsim \triangle ACB\)（如第 37 题）。

线段乘积式转化比例：若出现 “\(BC^2 = AC \cdot CD\)” 这类线段平方关系，可变形为 \(\frac{BC}{AC} = \frac{CD}{BC}\)，结合公共角 \(\angle C\)，判定 \(\triangle CAB \backsim \triangle CBD\)（如第 7、28 题）。

3. 三边对应成比例

网格中计算边长判定：在方格纸中，通过勾股定理计算三角形三边长度，验证三边对应比例是否相等。

例：\(\triangle ABC\) 与 \(\triangle DEF\) 中，若 \(\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF} = \sqrt{2}\)，则两三角形相似（如第 23 题）。

二、相似三角形的性质

相似三角形的性质是解题核心，需重点掌握 “对应边成比例”“对应角相等”“周长比 = 相似比”“面积比 = 相似比的平方” 四大性质，具体应用场景如下：

1. 对应边成比例（求线段长度）

基础比例计算：已知相似比和一组对应边，求另一组对应边。

例：\(\triangle ADE \backsim \triangle ABC\)，\(AD:DB = 2:3\)（即相似比为 \(2:5\)），若 \(AE = 2\)，则 \(\frac{AE}{AC} = \frac{2}{5}\)，得 \(AC = 5\)，\(EC = 3\)（如第 3、11 题）。

比例式变形（交叉相乘）：利用 “对应边成比例” 列方程，求解未知线段。

例：\(\triangle ABE \backsim \triangle CFB\)，\(\frac{AB}{CF} = \frac{AE}{BC}\)，已知 \(CF = 2\)，\(AE:BC = 3:1\)，得 \(AB = 6\)（如第 24 题）。

2. 对应角相等（推导角度关系）

利用相似角相等推导垂直 / 等腰：通过相似三角形对应角相等，结合已知角度（如直角、特殊角），推导线段垂直或等腰关系。

例：\(\triangle AEF \backsim \triangle DFC\)，\(\angle AEF = \angle DFC\)，又 \(\angle EFC = 90^\circ\)，故 \(\angle AEF + \angle AFE = 90^\circ\)，得 \(\angle EAF = 90^\circ\)（如第 30 题）。

3. 周长与面积比（比例性质延伸）

周长比 = 相似比：若相似比为 k，则周长比为 k（如第 17 题，相似比 \(1:2\)，周长比 \(1:2\)）。

面积比 = 相似比的平方：高频考点，需注意 “面积比” 与 “相似比” 的平方关系，避免混淆。

例：\(\triangle ADE \backsim \triangle ABC\)，相似比 \(1:2\)，则面积比 \(1:4\)，若 \(\triangle ADE\) 面积为 3，\(\triangle ABC\) 面积为 12（如第 14 题）；若 \(AD:DB = 2:3\)（相似比 \(2:5\)），则面积比 \(4:25\)（如第 11 题）。

三、相似三角形的实际应用

相似三角形在实际问题中主要用于 “测量高度 / 距离”，核心思路是 “构造相似模型，将实际问题转化为线段比例计算”，常见模型如下：

1. 标杆测量模型（“A” 型相似）

原理：标杆与建筑物均垂直于地面（平行），形成 “A” 型相似三角形，对应边成比例。

例：标杆 \(BE = 1.5m\)，\(AB = 1.2m\)，\(AC = 14m\)，\(\triangle ABE \backsim \triangle ACD\)，故 \(\frac{AB}{AC} = \frac{BE}{CD}\)，解得 \(CD = 17.5m\)（如第 8 题）。

2. 直角三角板测量模型（“X” 型相似）

原理：利用直角三角板的直角边比例，结合地面距离，构造相似三角形。

例：直角三角板 \(DE = 20cm\)，\(EF = 10cm\)（比例 \(2:1\)），\(CD = 6m\)，\(\triangle DEF \backsim \triangle DCB\)，故 \(\frac{DE}{DC} = \frac{EF}{CB}\)，解得 \(CB = 3m\)，树高 \(AB = AC + CB = 4.5m\)（如第 13、38 题）。

3. 影子重合模型（“A” 型相似）

原理：物体、影子与光线构成三角形，两物体影子末端重合时，形成相似三角形。

例：竹竿长 2m，影子长 6m，树影长 \(6 + 15 = 21m\)，\(\frac{树高}{竹竿长} = \frac{树影长}{竹竿影长}\)，解得树高 7m（如第 21 题）。

四、特殊图形与相似的结合

考试中常将相似三角形与正方形、矩形、等腰三角形等特殊图形结合，需利用特殊图形的性质（边长相等、角为直角、三线合一等）辅助判定相似：

1. 正方形 / 矩形与相似

正方形边长相等 + 旋转角相等：正方形中，旋转某条边后，易构造全等或相似三角形。

例：正方形 ABCD 中，将 BE 绕 B 顺时针旋转 \(90^\circ\) 得 BF，则 \(AB = BC\)，\(BE = BF\)，\(\angle ABE = \angle CBF\)，故 \(\triangle ABE \cong \triangle CBF\)（延伸：若角度变化，可推导相似）（如第 30 题）。

矩形对边平行 + 对角线交点：矩形中，对角线交点分线段成比例，结合相似求线段长度。

例：矩形 ABCD 中，E 是 AB 中点，DE 交 AC 于 F，\(\triangle AFE \backsim \triangle CFD\)，\(\frac{AF}{CF} = \frac{AE}{CD} = \frac{1}{2}\)，结合 \(AC = 5\)，得 \(CF = \frac{10}{3}\)（如第 39 题）。

2. 等腰三角形与相似

等腰三角形 “三线合一”+ 平行：等腰三角形中，底边上的高垂直底边，若有平行线，易形成相似三角形。

例：等腰 \(\triangle ABC\)（\(AB = AC\)）中，\(AD \perp BC\)，\(EF \perp AD\)，则 \(EF \parallel BC\)，\(\triangle AEF \backsim \triangle ABC\)，面积比为 \((\frac{AP}{AD})^2\)（如第 12 题）。