当0作为除数或分母时，表达式也有意义

摘要：在数学世界里，0的性质整体上很特殊，我们既要看到它的特殊的一面，也要看到它的一般的一面，避免片面化和绝对化。具体地看，在数学里，特殊数字0完全可以和其它任何数一样，用作除数和分母，我在下面进行简要论证。

When Zero Is Used as a Divisor or a Denominator, the Expression Can Still Be Meaningful

在数学世界里，0的性质整体上很特殊，我们既要看到它的特殊的一面，也要看到它的一般的一面，避免片面化和绝对化。具体地看，在数学里，特殊数字0完全可以和其它任何数一样，用作除数和分母，我在下面进行简要论证。

根据人类生活经验或者数学常识可知，0作为一种整数，既比一切正实数小，也比它们的相反数——一切负实数大，它与实数轴的对称中心——原点对应，所以，0既不是正数，也不是负数，是很特殊的中性数，有不少特殊性质。

很容易想到的常见例子有:0可以表示“没有”，比如一间寝室里没有人，可以说这间寝室里有0个人；可以表示非零整数所占的数位，而在最常见的十进制整数中，也表示它们是10的整数倍数，或者所占的数位归零，没有数值增加，比如，负整数－120的0表示占了个位，也表示这个数是10的整数倍——10的－12倍，比如，正整数101的0表示占了十位，也表示其十位数字归零，没有数值增加；可以表示物体的温度，这时物体仍然存在温度，其温度0℃表示零上温度和零下温度的界限，比如在一个标准大气压下，纯水温度为0℃时，可以是过冷水，可以是冰水混合物，也可以是固态冰，甚至还有少量水蒸气产生；可以表示测量的零基准点(测量起点)，比如用一把刻度尺测量一支新铅笔的长度时，不管是否用零刻度线对准铅笔的测量起始端，其最终的测量长度都是从零增加到实际尺寸的；……

总的来看，特殊整数0的用途多种多样，是不可缺少的数字。

根据数学常识容易知道，实数是用于计算、标记和量度的数学工具，它们包括有理数和无理数。前者能够表示成两个整数的比值，它们包括整数、分数(在数值上与有限小数或无限循环小数等价)，而后者不能表示成两个整数的比值，是无限不循环小数。它们都反映了事物的各种定量属性的数值、各定量属性之间的大小、数量关系。比如一个人的质量为75公斤，75就是实数，反映了其质量的准确数值；甲的体重为750牛，乙的体重为600牛，则甲比乙重，反映了甲、乙的体重数值的大小关系，甲比乙重150牛(或甲的体重是乙的体重的1.25倍)，反映了甲、乙的体重数值之间的数量关系。

至少在实数的除法运算中，习惯上把0从除数和分母的位置排挤掉，而其它任何实数都可以作为除数和分母，即习惯上认为:0不能作除数，也不能作分母。其理由很明显:如果0作为除数和分母，很容易产生矛盾。比如在初等算术里，假如0可以作为除数和分母，如下图所示，由于0×1＝0×2(＝0)，这时对等式两边同时除以0，写成分数形式后，就变成(0×1)/0＝(0×2)/0，再进行约分、化简后，就变成1＝2，该等式显然不成立。

然而，至少在实数范围内，0既可以作为除数，也可以作为分母。

我们都知道，0与任何实数的乘积都是0，且满足乘法交换律，可表示成0×a＝a×0＝0(a∈R)。而除法是乘法的逆运算，即一个因数等于积除以另一个因数，这时可以表示成等式型算式0÷0＝0/0＝a，而a是任意实数，所以，在实数范围内，0÷0可以取到任何实数。

这就类似于常见的三维欧几里德空间里的零矢量0，它与该欧氏空间里的任何矢量a之间，满足关系式0＝0·a，即零矢量可以表示成实数0与任何矢量的乘积，所以，零矢量与任何矢量都平行且共线，而a的方向也是任意的，所以，零矢量的方向也是任意的，也有无穷多种方向，换个角度看，三维欧氏空间里的零矢量的无穷多种方向，是一种特殊的变矢量，与仅有一种方向的任何非零矢量截然不同，这正体现了零矢量的特殊地位。

同样的道理，0÷0也有无穷多种实数结果，写成分数形式就是0/0，它是一种特殊的实变量，这也与“任何一个实数除以任何一个非零实数的商仅有一个”截然不同，这也体现了0除以0的商的特殊地位。

何况在高等数学里，如在常见的微积分学里，0÷0通常表示两个(实)无穷小量之商的简化记号，代表0/0型极限，总体上也有无穷多种结果。比如当自变量x→0时，定义域为R的实变函数f(x)＝tanx＋asinx(a为任意实数)和f(x)＝x都是无穷小量，它们的商lim(x→0)(tanx＋asinx)/x就属于0/0型极限，可化为lim(x→0)(1/cosx)·lim(x→0)(sinx)/x＋a·lim(x→0)(sinx)/x，而lim(x→0)(sinx)/x是第一重要极限，其极限值为1，所以最终结果为1＋a。由于a是任意实数值，总共有无穷多种，所以，至少在高等数学里，0÷0也有无穷多种实数结果。

由此可知，在实数范围内，0完全可以作为除数和分母，即0÷0(0/0)完全有意义。0÷0(0/0)如同一种特殊变量无穷小量一样，相当于另一种特殊变量，它可以取到一切实数，其定义域为实数集R。对于任何一个具体的0/0型等式型除法算式而言，其商是该变量的一个取值，也是其对应的逆运算乘法算式的一个因数。比如，当0/0型等式型除法算式0÷0＝－1时，即0/0的取值为－1时，－1就是对应的等式型乘法算式0×(－1)＝0或(－1)×0＝0的一个因数，也是非零因数。

因此，对于上面的那一类例子，如上述等式(0×1)/0＝(0×2)/0，化简为:(0/0)×1＝(0/0)×2，为了区别特殊变量0÷0(0/0)在等式两边可能对应的不同取值，如下图所示，可以写成(0/0)₁×1＝(0/0)₂×2，仅需满足关系式(0/0)₁＝2(0/0)₂ 。由于0/0可以取一切实数，比如取(0/0)₁＝20、(0/0)₂＝10，甚至取(0/0)₁＝(0/0)₂＝0时的特殊值，都能使该关系式成立，显然不会产生矛盾！

在零作为除数的前提下，如果被除数为非零实数，从初等数学的角度去看，这样的算式没有意义。设a÷0＝a/0＝x，a∈R且a≠0，等式两边同时乘以0并化简后，就变成a＝0，从而产生矛盾。

但从非初等数学的角度去看，比如从高等数学的角度去看a÷0＝a/0 (a为任意非零实数)，其实也是一种简化记号，表示任意非零实常数与无穷小量的商，不妨把其原型写成a/α(α→0，a≠0)。它有点类似于一元实变实值函数的微商函数(导函数)dy/dx，是函数极限lim(Δx→0) Δy/Δx的简化记号，比如简单的二次函数y＝ax²(a为非零实常数、x∈R)的导函数dy/dx就表示lim(Δx→0) Δy/Δx，它等于lim(Δx→0) a[(x＋Δx)²－x²]/Δx＝lim(Δx→0) a(2x＋Δx)＝2ax。

又由于在反比例函数y＝k/x (k为非零实常数，自变量x≠0)里，当x无限趋于0时，y的绝对值无限增大，所以，当x＝α→0时，y＝k/α→∞。也就是说，在零作为除数的前提下，如果被除数为非零实数，其实是指a÷α＝k/α(α→0，k≠0)，其结果为正无穷大＋∞或负无穷大－∞，统称无穷大∞，它们和0/0一样，已经不是实常数了。

而无穷小量在本质上作为一种变化域模糊的特殊变量，与“一般实变量具有清晰、准确的变化域(如一般实变量x∈(1，2)、y∈(3，+∞)时，都有准确的变化域，ⅹ、y能取各自的变化域里的任何实数)，里面的任何实数元素不会被舍去，并且变量经过一番变化后，也有可能重复取里面的实数值(如一座城市在傍晚某个时刻的气温完全可能和清晨某个时刻的气温相同)”的特征不同，其变化范围是不严格的，都是临时的。具体地看，它每取完一个绝对值充分小的实数值后，会把这个实数舍去，继续朝零无限逼近，以此类推，从而不断缩小其取值范围。严格地讲，无穷小量无限趋于0，其绝对值无限变小，而0是绝对值最小的数，其绝对值不可能再无限地变小，所以无穷小量不可能取到0。因此，无穷小量在取值时，其绝对值自然而然成为一个足够小的正数，其定义域可以简单表示为[－α，0)U(0，α](α→0⁺)。

同理，无穷大量在本质上也是一种变化域模糊的特殊变量，其变化范围也是临时的，不严格的。它每取完一个绝对值充分大的实数值后，会把这个实数舍去，继续取绝对值更大的实数值，以此类推，从而不断改变其取值范围。它在取值时，自然而然成为一个绝对值足够大的实数，其定义域可以简单表示为(－∞，－x]U[x，＋∞) (x→＋∞)。

由此可知，在实数范围内，任何非零实数k与0的商k/0也有意义，为无穷大量，它们和0/0一样，已经属于特殊变量。唯一的区别是，在实数范围内，特殊变量0/0的定义域是整个实数集R，而另一种特殊变量k/0 (k≠0)属于无穷大量，其定义域可以表示为(－∞，－x]U[x，＋∞) (x→＋∞)。

我在《速论虚数的本质和复数的一般结构「链接」》一文里已论证:复数的通式为z=a＋bi(a、b∈R，ⅰ²＝－1)，当b＝0时，复数z为(纯)实数，当b≠0时，复数z为虚数，这时如果a＝0，z就是纯虚数bi，其中，虚数单位ⅰ被定义为i²＝－1甚至ⅰ＝√－1；虚数绝不是虚构的数，它们的四则运算规则和实数相似；它们在本质上除了作为实数的对立统一产物之外，至少还有矢量和三角函数方面的运算和研究价值；复数集C由实数集R和虚数集I组成，任何一个复数都和复平面内的点(a，b)对应，且对应一个起点为原点O，终点坐标为Z(a，b)的矢量OZ。

而超复数的通式可以表示为:z＝a＋b₁ⅰ₁＋b₂ⅰ₂＋b₃ⅰ₃＋……＋b_n·i_n，a、b∈R，i为虚数单位，至少包括i²＝－1、0、1三种结果，n≥1，如常见的复数、四元数、八元数、十六元数都属于超复数；当n=1时，它们属于二元超复数z＝a＋bⅰ，如果i²＝1，它们就属于双曲复数，如果i²＝0，它们就属于对偶复数，如果i²＝－1，它们就属于最常见的复数z＝a＋bⅰ(a、b∈R，ⅰ²＝－1)。

因此，在非虚构数超复数范围内，0与任何超复数z的乘积等于0与它们的实部和各个虚部的乘积的总和，其结果总为0，这时都满足乘法交换律，可表示成0×z＝z×0＝0(z为任意超复数)。而除法是乘法的逆运算，即一个因数等于积除以另一个因数，这时也可以表示为0÷0＝z，而z是任意超复数，所以，与实数的情形类似，在超复数范围内，0÷0等于任何超复数，即存在无穷多个超复数值，其中就包括无穷多个最常见的复数值。

同理，与上述非零(实)被除数的情形类似，当超复被除数z≠0，超复除数为0时，其商可以表示成(a＋b₁ⅰ₁＋b₂ⅰ₂＋b₃ⅰ₃＋……＋b_n·i_n)/0(超复分子的实部和所有虚部中，至少有一个不为零)，这时可化为a/0＋(b₁/0)ⅰ₁＋(b₂/0)ⅰ₂＋(b₃/0)ⅰ₃＋……＋(b_n/0)·i_n(a、b∈R且a、b至少不全为零)，所以，其结果可为分两类:第一类是a、b₁、b₂、b₃、……、b_n之中不存在零元素，其结果为∞＋∞·ⅰ₁＋∞·ⅰ₂＋∞·ⅰ₃＋……＋∞·i_n，属于超复纯无穷大量；第二类是a、b₁、b₂、b₃、……、b_n之中存在零元素，但不全为零，其结果的实部和所有虚部中，至少有一个为无穷大量，而其余的为定义域为R的实变量0/0，这种结果属于超复混无穷大量。不管它们属于哪一类结果，其绝对值(超复数的模)||z||＝√[(a/0)²＋(b₁/0)²＋(b₂/0)²＋(b₃/0)²＋……＋(b_n/0)²]都是正无穷大量＋∞。因此，当超复被除数z≠0，超复除数为0时，其商z/0为超复无穷大量，这一点也和实数商相似。

由此可知，在数的范围更大的超复数范围内，0也可以作为超复除数和超复分母，即0÷0(0/0)完全有意义，0÷0(0/0)相当于一种特殊变量，它可以取到一切超复数，其定义域为整个超复数集，其中就包括复数集C在内。任何非零超复数z与0的商z/0也有意义，为超复无穷大量，其中就包括复无穷大在内，它们和0/0一样，已经属于另一种特殊变量。比如在复分析里，非零复数与0的商也有意义，为∞，它与扩充复平面里的无穷远点对应。

总结

根据唯物辩证法的三大规律之一——质量互变规律可知，当事物的量变积累到一定程度后，必然引起质变，所以在数学世界里，虽然0除以任何非零常数一定等于常数0，且任何两个非零常数相除的结果也一定是常数，但是，当超复数除法算式中的超复除数变量的绝对值或超复分数的超复分母变量的绝对值由正数减小到最小值0时，其商值已经发生根本变化，已经由常数质变成变量。

具体地看，在实数范围内，0÷0＝0/0为一种由常数0引发的特殊实变量，不妨用y表示，即y＝0/0，其定义域为实数集R，k/0(k≠0)为另一种由常数0引发的特殊实变量无穷大量∞，其定义域比较模糊，可以简单表示为(－∞，－x]U[x，＋∞) (x→＋∞)；

在复数范围内，0÷0＝0/0为一种由常数0引发的特殊复变量，不妨用ω表示，即ω＝0/0＝u＋ⅰv，u、v∈R，其定义域为复数集C，z/0(z≠0)为另一种由常数0引发的特殊复变量复无穷大量，包括纯复无穷大和混复无穷大，和无穷大一样，其定义域比较模糊，其绝对值(复数的模)的定义域可以简单表示为[x，＋∞) (x→＋∞)；

在超复数范围内，0÷0＝0/0为一种由常数0引发的特殊超复变量，其定义域为整个超复数大集合，z/0(z≠0)为另一种特殊变量超复无穷大量，包括超复纯无穷大和超复混无穷大，和无穷大一样，其定义域比较模糊，其绝对值(超复数的模)的定义域可以简单表示为[x，＋∞) (x→＋∞)。

总之，在数学世界里，0作为除数或分母时，完全有意义，其商在本质上属于由常数0引发的两类特殊变量。