摘要：1．[单选题]设α、β均为非零向量，则下面结论正确的是。[2017年真题]

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1．[单选题]设α、β均为非零向量，则下面结论正确的是。[2017年真题]

A．α×β＝0是α与β垂直的充要条件

B．α·β＝0是α与β平行的充要条件

C．α×β＝0是α与β平行的充要条件

D．若α＝λβ（λ是常数），则α·β＝0

答案：C

解析：AC两项，α×β＝0是α与β平行的充要条件。B项，α·β＝0是α与β垂直的充要条件。D项，若α＝λβ（λ是常数），则α与β相互平行，则有α×β＝0。

2．[单选题]设向量α与向量β的夹角θ＝π/3，模|α|＝1，|β|＝2，则模|α＋β|等于。[2018年真题]

A．

B．

C．

D．

答案：B

解析：计算得：

A．2

B．

C．

D．不能确定

答案：A

解析：设两向量α，β的夹角为θ，根据α·β＝2，解得：

4．[单选题]已知向量α＝（－3，－2，1），β＝（1，－4，－5），则|α×β|等于。[2013年真题]

A．0

B．6

C．

D．14i＋16j－10k

答案：C

解析：因为

5．[单选题]过点（2，0，－1）且垂直于xOy坐标面的直线方程是。[2019年真题]

A．

B．

C．

D．

解析：垂直于xOy面的直线的方向向量为（0，0，1），由于过点（2，0，－1），则直线的点向式方程为：

6．[单选题]设直线方程为

A．过点（－1，2，－3），方向向量为i＋2j－3k

B．过点（－1，2，－3），方向向量为－i－2j＋3k

C．过点（1，2，－3），方向向量为i－2j＋3k

D．过点（1，－2，3），方向向量为－i－2j＋3k

答案：D

解析：把直线方程的参数形式改写成标准形式：（x－1）/1＝（y＋2）/2＝（z－3）/（－3），则直线的方向向量为±（1，2，－3），过点（1，－2，3）。

7．[单选题]下列平面中，平行于且与yOz坐标面非重合的平面方程是。[2018年真题]

A．y＋z＋1＝0

B．z＋1＝0

C．y＋1＝0

D．x＋1＝0

答案：D

解析：D项，平面方程x＋1＝0化简为x＝－1，显然平行yOz坐标面，且不重合。ABC三项，均不平行于yOz坐标面。

8．[单选题]已知直线L：x/3＝（y＋1）/（－1）＝（z－3）/2，平面π：－2x＋2y＋z－1＝0，则。[2013年真题]

A．L与π垂直相交

B．L平行于π但L不在π上

C．L与π非垂直相交

D．L在π上

答案：C

解析：直线L的方向向量为±（3，－1，2），平面π的法向量为（－2，2，1），由于3/（－2）≠（－1）/2≠2/1，故直线与平面不垂直；又3×（－2）＋（－1）×2＋2×1＝－6≠0，所以直线与平面不平行。所以直线与平面非垂直相交。直线L与平面π的交点为（0，－1，3）。

9．[单选题]设直线L为

A．L平行于π

B．L在π上

C．L垂直于π

D．L与π斜交

答案：C

解析：直线L的方向向量为：

10．[单选题]设直线方程为x＝y－1＝z，平面方程为x－2y＋z＝0，则直线与平面。[2011年真题]

A．重合

B．平行不重合

C．垂直相交

D．相交不垂直

答案：B

解析：直线的方向向量s＝（1，1，1），平面的法向向量n＝（1，－2，1），两向量的数量积s·n＝1－2＋1＝0，则这两个向量垂直，即直线与平面平行。又该直线上的点（0，1，0）不在平面上，故直线与平面不重合。

11．[单选题]yOz坐标面上的曲线

A．x2＋y2＋z＝1

B．x2＋y2＋z2＝1

C．

D．

解析：一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所形成的曲面为旋转曲面。若yOz平面上的曲线方程为f（y，z）＝0，将此曲线绕Oz轴旋转一周得到的旋转曲面方程为：

12．[单选题]在空间直角坐标系中，方程x2＋y2－z＝0表示的图形是。[2014年真题]

A．圆锥面

B．圆柱面

C．球面

D．旋转抛物面

答案：D

解析：在平面直角坐标系中，z＝x2为关于z轴对称的抛物线。因此可考虑将该抛物线绕Oz轴旋转一周所形成的曲面方程：

13．[单选题]方程x2－y2/4＋z2＝1，表示。[2012年真题]

A．旋转双曲面

B．双叶双曲面

C．双曲柱面

D．锥面

答案：A

解析：方程x2－y2/4＋z2＝1，即x2＋z2－y2/4＝1，可由xOy平面上双曲线

14．[单选题]在三维空间中方程y2－z2＝1所代表的图形是。[2011年真题]

A．母线平行x轴的双曲柱面

B．母线平行y轴的双曲柱面

C．母线平行z轴的双曲柱面

D．双曲线

答案：A

解析：由于

15．[单选题]设有直线L1：（x－1）/1＝（y－3）/（－2）＝（z＋5）/1与L2：

A．π/2

B．π/3

C．π/4

D．π/6

答案：B

解析：由题意可知n(→)1＝（m1，n1，p1）＝（1，－2，1）

将L2的参数形式改为标准形式：（x－3）/（－1）＝（y－1）/（－1）＝（z－1）/2

所以n(→)2＝（m2，n2，p2）＝（－1，－1，2）

16．[单选题]曲面x2＋4y2＋z2＝4与平面x＋z＝a的交线在yOz平面上的投影方程是。[2012年真题]

A．

B．

C．

D．（a－z）2＋4y2＋z2＝4

答案：A

解析：在yOz平面上投影方程必有x＝0，排除B项。令方程组为：

17．[单选题]设α、β、γ都是非零向量，若α×β＝α×γ，则。

A．β＝γ

B．α∥β且α∥γ

C．α∥（β－γ）

D．α⊥（β－γ）

答案：C

解析：根据题意可得，α×β－α×γ＝α×（β－γ）＝0，故α∥（β－γ）。

18．[单选题]已知a、b均为非零向量，而|a＋b|＝|a－b|，则。

A．a－b＝0

B．a＋b＝0

C．a·b＝0

D．a×b＝0

答案：C

解析：由a≠0，b≠0及|a＋b|＝|a－b|知，（a＋b）·（a＋b）＝（a－b）·（a－b）。即a·b＝－a·b，所以a·b＝0。

19．[单选题]设三向量a，b，c满足关系式a·b＝a·c，则。

A．必有a＝0或b＝c

B．必有a＝b－c＝0

C．当a≠0时必有b＝c

D．a与（b－c）均不为0时必有a⊥（b－c）

答案：D

解析：因a·b＝a·c⇒a·（b－c）＝0⇒a＝0或b－c＝0或a⊥（b－c）。当a与（b－c）均不为0时，有a⊥（b－c）。

20．[单选题]设向量x垂直于向量a＝（2，3，－1）和b＝（1，－2，3），且与c＝（2，－1，1）的数量积为－6，则向量x＝。

A．（－3，3，3）

B．（－3，1，1）

C．（0，6，0）

D．（0，3，－3）

答案：A

解析：由题意可得，x∥a×b，而

21．[单选题]直线L1：

A．L1∥L2

B．L1，L2相交但不垂直

C．L1⊥L2但不相交

D．L1，L2是异面直线

答案：A

解析：直线L1与L2的方向向量分别为：

22．[单选题]已知直线方程

A．平行于x轴

B．与x轴相交

C．通过原点

D．与x轴重合

答案：B

解析：因A1/D1＝A2/D2，故在原直线的方程中可消去x及D，故得原直线在yOz平面上的投影直线方程为

23．[单选题]已知直线L1过点M1（0，0，－1）且平行于x轴，L2过点M2（0，0，1）且垂直于xOz平面，则到两直线等距离点的轨迹方程为。

A．x2＋y2＝4z

B．x2－y2＝2z

C．x2－y2＝z

D．x2－y2＝4z

答案：D

解析：两直线的方程为：L1：x/1＝y/0＝（z＋1）/0，L2：x/0＝y/1＝（z－1）/0。设动点为M（x，y，z），则由点到直线的距离的公式知：

24．[单选题]在平面x＋y＋z－2＝0和平面x＋2y－z－1＝0的交线上有一点M，它与平面x＋2y＋z＋1＝0和x＋2y＋z－3＝0等距离，则M点的坐标为。

A．（2，0，0）

B．（0，0，－1）

C．（3，－1，0）

D．（0，1，1）

答案：C

解析：A项，点（2，0，0）不在平面x＋2y－z－1＝0上；B项，点（0，0，－1）不在平面x＋y＋z－2＝0上；D项，点（0，1，1）与两平面不等距离。

25．[单选题]设平面α平行于两直线x/2＝y/（－2）＝z及2x＝y＝z，且与曲面z＝x2＋y2＋1相切，则α的方程为。

A．4x＋2y－z＝0

B．4x－2y＋z＋3＝0

C．16x＋8y－16z＋11＝0

D．16x－8y＋8z－1＝0

答案：C

解析：由平面α平行于两已知直线可得，平面α的法向量为：n＝（2，－2，1）×（1，2，2）＝－3（2，1，－2）。设切点为（x0，y0，z0），则切点处曲面的法向量为（2x0，2y0，－1），故2/（2x0）＝1/（2y0）＝（－2）/（－1），由此解得x0＝1/2，y0＝1/4，从而z0＝x02＋y02＋1＝21/16，因此α的方程为：2（x－1/2）＋（y－1/4）－2（z－21/16）＝0，即16x＋8y－16z＋11＝0。

来源：小雨课堂