2023北京重点校初三（上）期中数学汇编：图形的变换章节综合1

摘要：定义：图形沿某一方向移动一定距离，形状、大小、方向均不变，仅位置改变。关键考点：平面直角坐标系中平移规律：左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加）。例如：点\((x,y)\)向右平移 2 个单位、向下平移 1 个单位后为\((x+2,y-

一、图形变换核心概念与性质

1. 平移

定义：图形沿某一方向移动一定距离，形状、大小、方向均不变，仅位置改变。

关键考点：

平面直角坐标系中平移规律：左右平移改变横坐标（左减右加），上下平移改变纵坐标（下减上加）。例如：点\((x,y)\)向右平移 2 个单位、向下平移 1 个单位后为\((x+2,y-1)\)。

作图步骤：确定原图形关键点→按平移规律找对应点→顺次连接对应点。

相关计算：结合勾股定理求平移后线段长度（如第 3 题求AC长，利用网格边长用勾股定理得\(\sqrt{10}\)）。

2. 旋转

定义：图形绕某一固定点（旋转中心）按一定角度（旋转角）转动，形状、大小不变，位置和方向改变。

关键考点：

旋转\(90^\circ\)：平面直角坐标系中，点\((x,y)\)绕原点逆时针旋转\(90^\circ\)后为\((-y,x)\)，顺时针旋转\(90^\circ\)后为\((y,-x)\)（如第 12 题 “\(\triangle OAB\)绕O顺时针旋转\(90^\circ\)”，\(A(5,0)\)对应\(A'(0,-5)\)）；

旋转\(60^\circ\)：常结合等边三角形（旋转后易构造成等边三角形，如第 15 题、17 题）；

旋转\(180^\circ\)：对应点连线过旋转中心，且被旋转中心平分（与中心对称性质一致）。

对应点到旋转中心的距离相等（如第 17 题 “线段AD绕A顺时针旋转\(60^\circ\)得AE”，则\(AD=AE\)）；

对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角（如第 20 题 “CD绕C顺时针旋转\(60^\circ\)得CE”，则\(\angle DCE=60^\circ\)）；

旋转前后图形全等。

三要素：旋转中心、旋转方向（顺时针 / 逆时针）、旋转角。

性质：

特殊旋转角度：

作图步骤：确定旋转中心→找原图形关键点→按旋转规律找对应点→顺次连接。

3. 中心对称（旋转\(180^\circ\)的特殊情况）

定义：图形绕某点旋转\(180^\circ\)后与原图形重合，该点为对称中心。

关键考点：

性质：对应点坐标互为相反数（如点\((x,y)\)关于原点对称的点为\((-x,-y)\)，第 5 题 “\(\triangle OAB\)关于原点对称”，\(A(3,2)\)对应\(A_1(-3,-2)\)）；

作图：找关键点的对称点→顺次连接；

旋转中心确定：连接两组对应点，两条线段的交点即为旋转中心（如第 8 题 “找\(\triangle ABC\)绕某点逆时针旋转\(90^\circ\)的旋转中心”，通过连接\(AA_2\)、\(CC_2\)并作垂直平分线，交点即为中心）。

二、变换与几何图形的综合应用

1. 与三角形结合（等腰、等边、直角三角形）

等腰 / 等边三角形：旋转后利用 “全等” 证明线段或角相等。例如：

第 20 题 “等边\(\triangle ABC\)中，CD旋转\(60^\circ\)得CE”，证明\(\triangle ACE \cong \triangle BCD\)（\(AC=BC\)，\(\angle ACE=\angle BCD\)，\(CE=CD\)）；

第 17 题 “等边\(\triangle ABC\)中，AD旋转\(60^\circ\)得AE”，证明\(\triangle AEB \cong \triangle ADC\)，进而求\(\angle BED\)。

直角三角形：旋转后利用 “直角” 或 “斜边中线” 性质。例如第 19 题 “\(Rt\triangle ABC\)中，AD旋转\(90^\circ\)得AE”，证明\(\triangle EAB \cong \triangle DAC\)，结合等腰直角三角形\(\triangle AED\)求\(\angle BED\)。

2. 与四边形结合（正方形为主）

正方形性质 + 旋转：正方形边长相等、角为\(90^\circ\)，旋转后易构造成全等或相似三角形。例如：

第 22 题 “正方形ABCD中，AB旋转\(\alpha\)得AE”，利用\(AB=AD=AE\)，结合角平分线证明\(\triangle CBF \sim \triangle DBE\)；

第 25 题 “正方形ABCD中，DP旋转\(60^\circ\)得DQ”，证明\(\triangle PDQ\)为等边三角形，\(\triangle PCB \cong \triangle PCD\)。

3. 与圆结合（新定义 “关联线段”）

第 2 题定义 “关联线段”：线段绕点A旋转后能成为\(\odot O\)的弦，则需满足 “旋转后线段端点在圆上”，即\(AB'=AB\)、\(AC'=AC\)且\(OB'=OC'=1\)（圆半径），结合圆的性质（如弦长、点到圆心距离）求参数（如t的值）。

三、高频辅助线与解题思路

构造全等三角形：旋转问题中最核心思路，通过旋转性质得到 “对应边相等、对应角相等”，进而证明全等（常用SAS、ASA、HL）。例如第 6 题 “点B关于AC对称得D”，则\(\triangle ABC \cong \triangle ADC\)，为后续证明\(BM=MF\)铺垫。

利用 “中点” 辅助线：遇中点时，常延长中线至两倍（倍长中线法），或构造中位线。例如第 16 题 “M为AE中点”，延长CM至F使\(FM=CM\)，证明\(\triangle AMF \cong \triangle EMC\)。

特殊角度转化：旋转\(60^\circ\)构造成等边三角形，旋转\(90^\circ\)构造成等腰直角三角形，利用特殊三角形的边角关系（如\(30^\circ\)角对直角边为斜边一半、勾股定理）计算。例如第 18 题 “\(FE \perp BC\)，\(\angle FCE=60^\circ\)”，则\(CE=\frac{1}{2}CF\)。