摘要：辛几何作为微分几何的一个重要分支，专注于研究辛流形（Symplectic Manifold）及其上的结构保持变换。其核心要义在于刻画经典力学系统的相空间几何结构。
辛几何作为微分几何的一个重要分支，专注于研究辛流形（Symplectic Manifold）及其上的结构保持变换。其核心要义在于刻画经典力学系统的相空间几何结构。
辛流形乃是一个偶对 ，其中：
(M) 为一个光滑偶维流形。 是一种辛形式（Symplectic Form），即满足如下条件的2 - 形式：闭性（Closedness）：。非退化性（Non - degeneracy）：对于 (M) 上的每个点 (p)，映射 的同构。等价而言， 是 (M) 上一个处处非零的体积形式。最为经典的实例当属余切丛。设 (Q) 为构型空间（一个流形），其局部坐标为 ，那么 具有自然坐标 。在其上定义了典范辛形式：
其闭性和非退化性可直接予以验证。此情形恰好对应着哈密顿力学中的相空间。
辛几何为哈密顿力学搭建了最为自然的几何架构。
相空间：其本质即为辛流形 。可观测量：乃是光滑函数 （即哈密顿量）。哈密顿向量场：由方程 唯一确定的向量场 。在余切丛上，该方程等同于标准的哈密顿方程：泊松括号：辛结构在函数空间上诱导出李代数结构，表达式为：
此结构满足雅可比恒等式 。辛映射（Symplectomorphism）：是一种微分同胚 ，且满足 。它是相空间中被“允许”的变换，能够保持整个哈密顿力学的结构。核心问题：辛几何的核心要义在于辛分类问题，即两个辛流形在何种条件下是辛等价的？这一问题催生了对辛不变量的研究。这些不变量在辛映射下始终保持恒定，然而在一般的微分同胚下却可能发生改变，从而彰显出辛结构独特的“刚性”特征。
辛几何的演进实现了从局部理论到整体理论（即辛拓扑）的重大跨越，其具有里程碑意义的定理深刻揭示了辛结构所具备的显著刚性。
定理 1：达布定理（Darboux’s Theorem）—— 辛几何的“局部平凡性”陈述：任意辛流形 在局部皆与标准的欧几里得空间 呈辛同构关系，其中 。这意味着，辛流形不存在局部不变量。证明思路（Moser 技巧）：此乃辛几何中一个至关重要且精妙绝伦的证明。目标：探寻点 (p) 的邻域 (U) 上的局部坐标 。构造：考量一族辛形式 ，其中 ，这里的 为 (p) 点处的标准形式。鉴于 在 (p) 点取值相同，并且二者均为非退化的，故而在 (p) 的一个较小邻域内，对于所有的 (t) 值， 均保持非退化性质。关键观察：对导数 进行计算，可得 。由于 ，依据庞加莱引理，存在一个局部 1 - 形式 ，使得 在 (p) 点取值为零）。Moser 技巧 我们期望找出曲线 所对应的向量场 ，从而使 成立。对 (t) 求导可得：故而，仅需求解方程：
鉴于 具有非退化性，此方程能够唯一确定一个向量场 。该向量场在 (p) 点取值为零，所以其积分曲线 在 (p) 的一个邻域内可存在至 (t = 1)。最终，，这意味着 即为我们所寻觅的局部辛坐标映射。
达布定理昭示，所有辛流形在局部层面是难以辨别的。辛几何的精妙之处全然蕴含于其整体（全局）性质之中。
定理 2：格罗莫夫的非挤压定理（Gromov’s Non - Squeezing Theorem）—— 辛刚性的发端陈述：设想圆柱体 ，其中 中半径为 (r) 的球体。倘若存在一个辛嵌入 （也就是把整个球体嵌入到圆柱体之中），那么必定有 。几何阐释：无法通过一种“既保持体积又保持辛结构”的变换（即辛嵌入），将一个较大的球体“压缩”进一个横截面半径过小的圆柱体里。这与仅仅保持体积的变换形成了强烈的反差（在仅保体积的变换中，体积能够任意地拉伸变形，只要总体积维持不变即可）。证明思路（伪全纯曲线理论）：格罗莫夫的证明引入了具有开创性的工具——伪全纯曲线（Pseudoholomorphic Curves）。几乎复结构：于辛流形 之上，选取一个与 相契合的几乎复结构 (J)，需满足以下条件： 对于所有非零向量 (v)，都有 。如此这般的 (J) 总是存在的。伪全纯曲线：这是一个从黎曼面 到 ((M, J)) 的映射 ，其满足柯西 - 黎曼方程 。应用：格罗莫夫假定存在一个挤压映射（即 (R > r)），接着考量从圆盘到圆柱的伪全纯曲线，该曲线的边界位于圆柱的侧面。通过剖析曲线的能量与面积（借助辛形式以及非挤压条件），将会推导出矛盾。伪全纯曲线的面积受到其在辛形式下能量的制约，这为我们提供了标准体积几何所不具备的限制条件。该定理作为辛拓扑的奠基性成果，证实了一个既简明又深刻的结论：存在一种比“体积”更为精细的几何刚性，即辛容量（Symplectic Capacity）。由非挤压定理所定义的格罗莫夫宽度 便是辛容量的一个具体实例。两个流形若要达成辛同构，就必须具备完全相同的辛容量。
假设 为一个紧致辛流形， 是由哈密顿函数 (H) 所生成的、时间跨度为 1 的辛微分同胚。那么，的不动点数量至少等同于 (M) 上光滑函数临界点数量的下限（即，至少有 个）。
物理解释一个具有周期性（周期为 1）的力学系统，在回归到初始状态时，其相空间中的运动至少会产生一定数量的周期轨道。
安德烈斯·弗洛尔（Andreas Floer）为证明这一猜想，研发出了一套具有划时代意义的工具——Floer 同调（Floer Homology）。
阿诺尔德猜想的解（即不动点）与作用量泛函 的临界点相对应。然而，该泛函在环路空间中并不满足紧性条件。
Floer 引入了“梯度流”方程，这是一个偏微分方程：
其中 。此方程可视为环路空间上梯度流的轨迹。
其链群由哈密顿系统的 1 - 周期解生成。两个解之间的“微分”由连接它们的 Floer 轨迹（即上述偏微分方程的解）的模空间所定义。需要证明这个模空间是紧的（这需要进行紧化处理，也就是要考虑“破裂的轨迹”），并且满足 。
Floer 证明了（在特定条件下）他所定义的同调群 实际上与流形的奇异同调群 (H_(M)) 同构。因此，周期解的个数至少等于同调群的秩（即 Betti 数之和），进而证明了阿诺尔德猜想。
意义Floer 同调实现了将无限维变分问题转化为有限维同调理论，是研究辛流形以及低维拓扑（例如 3 - 流形的 Casson 不变量）的强大工具。
这是当下辛几何与代数几何交叉领域中最为活跃的研究方向。其核心猜想为：对于某一 Calabi - Yau 流形（属于代数几何研究对象），存在一个“镜像”辛流形，使得前者的复几何（B - 模型）与后者的辛几何（A - 模型）具有等价性。举例如下：
复几何中的形变理论 与辛几何中的Gromov - Witten 不变量 存在对应关系。同调镜像对称（Kontsevich） 推测代数一侧的导出范畴 与辛一侧的Fukaya 范畴 是等价的。2. 辛场论（Symplectic Field Theory, SFT）该理论由 Eliashberg、Givental 和 Hofer 提出，是对 Floer 理论的重大拓展。其主要用于处理非紧辛流形或带有边界的辛流形，尤其侧重于研究接触流形（Contact Manifolds） 的辛不变量。
四、总结辛几何已从最初用于描述经典力学相空间的框架，演变为一门具备深刻刚性与丰富结构的现代数学分支。其发展脉络清晰可循：
基础奠基：达布定理的提出，确立了辛几何的局部平凡性，为后续研究构筑了坚实基础。刚性发现：格罗莫夫的非挤压定理具有开创性意义，它揭示了辛几何独特的整体刚性特征，标志着辛拓扑这一重要领域的诞生。工具革命：弗洛尔为攻克阿诺尔德猜想，创造性地发明了 Floer 同调。这一理论为研究辛流形和低维拓扑提供了强大的同调理论工具，推动了该领域的深入发展。前沿融合：辛几何与代数几何、数学物理实现了深度融合，催生出如镜像对称这般影响深远的研究方向，拓展了其研究边界与应用范围。辛几何的核心特质在于其整体性与刚性。它让我们认识到，哈密顿力学所遵循的几何法则，远比我们以往认知的更为精密和严苛。
来源：二十二世纪科学的乌云
