数学是门体力活？数学进步是如何推动的？

摘要：《用数学的语言看宇宙》传达了数学这门学问与社会、产业之间的内在联系和展现出的新趋势，是一本兼具前沿数学理论和通俗数学知识的科普佳作，里面有很多新颖观点：

数学是怎样进步的？

数学论文最重要的三要素是什么？

为什么很多人在数学方面的新工作都年轻时完成的？

《用数学的语言看宇宙》传达了数学这门学问与社会、产业之间的内在联系和展现出的新趋势，是一本兼具前沿数学理论和通俗数学知识的科普佳作，里面有很多新颖观点：

“一项极为新颖的发明和发现，有时候并不是出现在学科的前沿领域，而是更有可能出现在非常基础的地方。”

“数学是一门非常耗费体力的学问。”

《用数学的语言看宇宙：望月新一的IUT理论》

作者 | [日]加藤文元

译者 | 周健

数学就像是一场

多种打法的格斗大赛

数学这个学科对于新的发现一直都是很开放的。在“科学的常规发展”期，新的发现是在既有结果的基础上一点一滴地增添新的见解和知识，而在“范式转型”期，那就需要彻底打破之前所获得的知识见解和方法论，从全新的角度出发来重新建构新的知识，数学就是这么一种情况。

如果你一直用学校里教的那些看起来像是“结束了”的数学来看待数学的话，那就很难相信数学里也会不断产生新的东西，以及数学也是不断进步的学科。

但在历史长河中，数学里确实发生了各种各样的进步，某些时候甚至还创造出了一个全新的思维框架。

从总体上说，数学这个学科就是在漫长的历史中不断被创造、被“破坏”、被超越的许多研究分支和思维框架的集合体。

其中包含着数量众多且内容迥异的理论，甚至是看起来完全不同的理论，这些理论的总合就是我们今天称为“数学”的那个学科。

我们完全不能说它是一个具有单一的研究领域的学科，因为它的研究领域多得惊人，而且这些领域相互交织，构成了一个巨大的网络，故我们可以说数学是一个极其复杂且多样化的体系。

不妨回忆一下自己在初中或高中时学过的数学，那里不仅有图形、数、函数、向量，甚至还有数列和概率，这么多不同种类的对象和概念挤在一起。形象地说，数学就像是把这些不同种类的对象和概念杂乱地聚在一处来进行“多种打法的格斗大赛”。

要同时处理这么多看起来完全不同的概念，这样的学科恐怕除了数学就没有别的了吧？

正是这种令人惊讶的“内在多样性”，才使数学即使已经非常丰富和成熟了，仍然能够不断进步和焕发新生命力。而数学本身，也正因为在其内部已经具备了这种概念上的“多种打法”的兼收并蓄，才使数学工作者能够有各种不同的构思或创意，可以根据各自的个性工作。

而且，这件事还与数学中围绕着“进步”的另一个重要的事实有着密切的关系。这个事实就是，一项极为新颖的发明和发现，有时候并不是出现在学科的前沿领域，而是更有可能出现在非常基础的地方。其他学术领域应该也在发生着同样的事情，不过在数学里，这个现象尤其明显，即那些具有极其重大影响力的出现或者发明，一般不是出现在该学科的前沿领域，而是出现在更为基础性的地方。

举例来说，和整数相关的各种问题，自古以来就是数学上的大问题。

因为不管怎么说，整数这种对象是连初中生都十分熟悉的，因而与整数有关的问题很多都是非常基础的问题。在现代数学中，为了解决与整数有关的各种问题，已经开发了各种各样的概念架构和技术工具，但即便如此，仍然有数量众多的问题尚未得到解决。

其中，大部分都是非常基本的问题，比如与素数有关的问题，而且这些问题本身就是中学生也能够理解的。像哥德巴赫猜想“任何一个大于等于4的偶数都能写成两个素数之和”，就是这一类型的问题。

到目前为止，尽管现代数学的最前沿研究已经达到了很高的高度，面对这样一个听起来如此“平易近人”的问题，数学研究者们仍然拿不出什么有效的解决方法。为了能对这样的基本问题发起真正的挑战，可能必须要找到一些全新的想法，而且应该是与这个问题处于同一个基础性层面上的发明创造。

现在，望月教授的IUT理论就是要在这样一个非常基础性的层面上发起一场具有巨大影响力的革新，这恐怕在整个数学的历史上都很难找到能与之匹敌的事件。那么，这个理论究竟是怎样在“基础性”的层面上颠覆了今天的数学呢？关于这一点，我们将在后面的章节里一点一点地介绍和说明。

但是，在此之前，对于该理论的“新颖”之处究竟是关于数学中的什么东西这个问题，我们倒是可以在这里透露一点内幕消息，那就是对“加法和乘法的关系”提出了全新的理解。加法和乘法之间会有什么样的关系呢，这不是连小学生都知道的吗？我们在小学的时候最早学的是加法，然后在这个基础上又学习了乘法。从某种意义上来说，它们之间的关系是明显的。这里面还能藏着什么深奥的问题吗？对于我们普通人来说，这恐怕是无论如何也想象不到的吧。但是，在那里确实藏着很大的问题。而且，正因为这个问题的背景是非常基础的，所以它才是极其深奥难解的问题。

在本书后面的章节中，对于IUT理论可能会引发的理论变革的相关内容，我们会尽可能使用简单、易懂的方式来介绍。由此，我们已经可以窥见这种“破坏力”的一部分，那就是在小学算术的层面上对数学进行根本性的重新审视。而且，尽管它是革命性的，但也是基于一些非常自然的想法的。这就是为什么即使我们略去各种技术性细节，也能充分地传达出想法的基本意思。

02 所谓的数学进步

到底是怎么一回事？

不管怎么说，数学就是一个非常自由的学科，而且总是对“进步”保持着开放的态度，这可能远远超出大多数人的想象。数学工作者发挥自己的个性，并在自己观点的主导下，夜以继日地为这个进步做着贡献。然后，当他们得到了一个新定理的证明，或者建构了一个新的理论体系时，通常会把这些数学上的新工作整理成论文的形式，或者写成书的形式。

论文的篇幅可以很短，只有几页，也可以很长，超过100页的都有，但基本上就是十几页到几十页这样的篇幅。如果你希望把自己所完成的工作传达给世界各地的数学工作者的话，那么一般来说，论文就要用英语、法语或者德语来书写。

其中，德语的使用频率（流通普及率）如今似乎没有那么高。能使用德语进行阅读和书写的数学工作者的比例好像也不是太高。我曾经与其他研究者合作发表过一篇德语论文，出版在Crelle杂志（后面会讲到）上，但得到的评价不是很好。到现在还时常被人问到“没有翻译成英语吗？”这样的问题。另外，我也用法语发表过一篇简短的合作论文，这篇文章就没有出现语言方面的问题。

实际上，在数学的世界里，法语文献相当多，如果论文是用法语写的，那么没有任何人会有抱怨。但是如果使用的是德语或者俄语的话，很久以前的文章姑且不论，现在的文章就会招来很多人的抱怨。所以，论文还是应该用英语或法语来撰写。

数学理论通常是以论文的形式向外界公布的。这就要求把此前只存在于一个或者少数几个数学工作者头脑之中的想法转化成文章和数学公式，而且要能够让大家都能看懂。因此，论文写作的基本要求就是，对于专业相同的数学工作者来说，只要读过这样的论文，就应该能够获得或了解与对应问题有关的理论及必要的知识。这永远是最基本的要求。所以在这里也一样，如第1章所述，写作论文也需要掌握一些专门的沟通交流技巧。也就是说，和口头宣讲时一样，在论文中，有必要运用行业术语和专业性的表达方式。不过从根本上来说，和口头宣讲相比，论文里的内容必须更加详尽，因而所采用的书写格式和遣词造句也就有很大的不同。

对于一篇数学论文来说，最重要的事情就是它要具备以下3个要素，一是“新”的东西，二是“正确”的东西，三是“意味深长”的东西。这三者之中，不管哪一个有所欠缺，这篇数学论文的价值都会急剧降低。

在这里，用来判断“新”的依据是什么？“正确”的标准又是什么？这都是非常专业的问题。初出茅庐的年轻研究者，都要经过一番训练才能做出恰当且专业的判断。至于说数学中的“新”是什么意思，在某种程度上我们已经做出说明了。比如在“科学的常规发展”时期，就是要对所选的问题或者对该时代占主导地位的问题给出部分的或者完整的解决方案，也可以是提出理解问题的新视角，而在前面所说的那种“范式转型”的时期，还包括那种能够在该领域掀起革命的大论文。

03 数学是一个需要体力的学科

那么“正确”又是什么意思呢？简单来说，所谓“正确”只有一个意思，那就是要给出滴水不漏的证明。正如前面说过的那样，对于数学工作者来说，“正确”就是指“已经给出了证明”。而且在那个证明中，任何细节都不能出现逻辑上的跳跃。在数学工作者的眼里，只要证明还没有达到滴水不漏的程度，就是无法令人满意的。所以说，作为决定一篇论文好坏的“标准”，上面所说的这种“正确”是非常重要的事情。

而且，在数学里，“正确”这个词的意思在某些时候是极其严格的。数学中的那些定理，至少对于那些热爱数学并且能理解数学的人来说，是非常自然的，有时候还是十分优美的。因此，这些定理的论证与证明在一定程度上也都是自然的，甚至是优美的。话虽这么说，但如果认为这种自然性一定会自动地关联正确性，那就大错特错了。我们可以把那些正在论证困难理论的数学工作者与F1赛车手做个对比。赛车手们开着车在赛道上以320公里的时速飞驰，还要时刻与对手争夺那几厘米的差距。

数学工作者也是这样，在运用一个宏大而抽象的概念的时候，对每一个细小的步骤都必须进行精密的论证，而且还要能够长时间地维持这种高度紧张的论证过程。在数学工作者为了确保“正确性”而从事的工作中，就是有这种极其严苛的一面。所以说，数学的论证总是与“错误”比邻而居。尽管我自己平时已经十分小心谨慎了，但还是常常会出现很多“错误”。

我们经常能听到这样一种说法，那就是很多人在数学方面的新工作都是在年轻的时候完成的。给出的理由是，人在年轻的时候想法更加灵活，而且有着不拘泥于常规的自由想法等。

然而，除此之外，“体力”也是一个非常重要的因素。要长时间保持高度紧张的思考，这种对于集中力的高要求，如果没有体力是肯定做不到的。因此，数学是一门非常耗费体力的学问。