摘要：在初中，正比例、反比例、一次、二次函数，对思维要求较单薄，课程较稀松。

在初中，正比例、反比例、一次、二次函数，对思维要求较单薄，课程较稀松。

高中课程知识明显增多。幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，基本一个学期学完。而且，对于全面分析、思考方法、发散思维要求较高。

下面结合3道例题详细探究。

【例1】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围。

这类题，在高考试卷中，撑死不过是一道小选择题。

从已知“B⊆A”入手。粗略理解为集合A的范围较大。

错解：由题意得：m＋1≥－2且2m－1≤5，故－3≤m≤3。解完了。

以上，错在哪了？

他错在了初中式单线条考虑问题。

有两个环节没考虑到。

失误一：错解是把B当作非空集合的前提下，遗漏了集合B(m＋1≤x≤2m－1)本身最起码的要求m＋1≤2m－1。

由m＋1≤2m－1得m≥2。

失误二：遗漏了集合B是空集的情形。

当集合B(m＋1≤x≤2m－1)是空集时，由2m－1＜m＋1得m＜2。

正解：

情形一：当B≠Φ时，解不等式组m＋1≥－2、2m－1≤5、2m－1＜m＋1，得2≤m≤3。

情形二：当B＝Φ时，由2m－1＜m＋1得m＜2。

两种情形是“或”的关系。

情形一要求的m≥2，与情形二要求的m＜2，是“或”的关系。

意思是无论m大于等于2，还是m小于2，都满足题意。那就不用纠结这个2了。

综合情形一和情形二，得m≤3，故实数m的取值范围是(－∞，3]。

不能再像本题的错解，单线条考虑问题。

不能像初中，直筒子一条路走下去、直达目标。

到了高中，注意发散思维、分类讨论、全面考虑。

前行的路上，岔道口很多，多种情形要分类对比讨论，要学会周密思考。

【例2】已知集合A＝{x|x＞15或x＜0}，集合B＝{x|2m＋1≤x≤3m－5}，若B⊆(A∩B)，求实数m的取值范围。

凡是求解含参数的题集合题目，①注意空集情形；②注意子交并补以及逻辑关系的变换；③一元二次方程根的判别式、根与系数关系、回头验证；④注意结合数轴或图像分类讨论。

先弄明白“B⊆(A∩B)”的意思：

“A∩B”表示：同时属于A和B的所有元素组成的集合。

故，(A∩B)⊆A，且(A∩B)⊆B。

由已知B⊆(A∩B)，结合(A∩B)⊆B，可得B＝A∩B。

由B＝A∩B可知，集合B中的所有元素都同时属于集合A。

故，B⊆A。

本题情形一：当集合B＝{x|2m＋1≤x≤3m－5}为空集时，需要3m－5＜2m＋1。

即当m＜6时，B＝Φ。满足B⊆A。

情形二：当B≠Φ时，为满足B⊆A，集合B位于下图中的两个位置中任一位置均满足题意。

①当集合B位于0的左侧时：

解2m＋1≤3m－5和3m－5＜0组成的不等式组，得m≥6且m＜，这显然无解。

注：2m＋1≤3m－5，是B≠Φ的最起码的必须；3m－5＜0，这里不能3m－5≤0，因为集合A中不含0这个元素，而B⊆A，故集合B中也不能含0，故只能3m－5＜0，而不能3m－5≤0。

②当集合B位于15的右侧时：

解2m＋1≤3m－5和2m＋1＞15组成的不等式组，得m≥6且m＞7，大于7的数移动满足m≥6，故取m＞7。也可以背口诀“同大取大、同小取小、大小取中间”。

情形二当中的①和②，是“或”的关系。要么你、要么我，都行。①不行时，②行。即情形二的结果是m＞7。

情形二和情形一，也是“或”的关系。你也行，我也行，咱俩都满足题意。

情形二的m＞7满足题意，情形一的m＜6也满足题意。

故实数m的取值范围是{m|m＞7或m＜6}，即(7，＋∞)∪(－∞，6)。

【例3】已知集合A＝{x|2≤x≤5}，集合B＝{x|2m≤x≤m＋3}，若B⫋A，求实数m的取值范围。

符号“⫋”表示B⊆A但B≠A，即B是A的真子集。建议熟悉掌握课本，不过分热衷于刷难题。

首先注意B＝Φ的情形！

情形一：对于集合B＝{x|2m≤x≤m＋3}，当m＋3＜2m，即m＞3时，B＝Φ。满足B⫋A。

情形二：当B≠Φ时，首要条件是满足集合B自身特征2m≤x≤m＋3。

由题意，B真包含于A，下图中的两种情况均满足题意。

上图中的两种情况，是“或”的关系，并，∪。

{m|1≤m＜2}与{m|1＜m≤2}，并，得{m|1≤m≤2}。此为情形二的结果。

情形一、情形二再并！

综上，实数m的取值范围是{m|1≤m≤2}或{m|m＞3}。

即[1，2]∪(3，＋∞)。

单从最终结果看，按“B⫋A”计算与按“B⊆A”计算，结果相同。

注意仔细审题，注意过程书写。

文末寄语

高中，进度较快，知识较多，对分析能力、理解能力要求较高。

所以，在思维拓展、思考方法、全面分析、参数的分情形考虑、结合函数图形判断等方面，注意多加锻炼。

初中所学的，几乎都用不上。而且，跟初中没啥牵连。

所以，必须尽快入乡随俗。让自己尽快进入高中角色；千万别厌烦新知识、新思考方法。

高中就是这个味，不管你是否厌烦，必须更新全新的考虑方法。

每个题，蕴藏的暗礁较多。每个题，基本要分很多情形。

抛弃以前的，彻底进入新场景！

领悟高中知识特点和规律，熟悉之后，你会发现，高中并不难学！

树立信心，跨过这个坎，必定一片光明！

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布小升初、中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。不卖课、不带货、不卖资料，干干净净免费传播知识。

发文涉及科目主要有中考、高考数学，物理，也有英语，化学，作文。

整个高中，俺依然是您的良师益友。

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来源：春蕾教育