摘要：卡方拟合优度检验（Chi-square goodness-of-fit）适用：类别数较多且每类期望次数 e_k ≳ 5 时。输出 χ2 统计量与 p 值；可查看各类标准化残差以识别偏离项。注意：小样本或小期望值时近似不可靠。G 检验（似然比检验，Likelih
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总体/离散多类别拟合检验
卡方拟合优度检验（Chi-square goodness-of-fit）适用：类别数较多且每类期望次数 e_k ≳ 5 时。输出 χ2 统计量与 p 值；可查看各类标准化残差以识别偏离项。注意：小样本或小期望值时近似不可靠。G 检验（似然比检验，Likelihood-ratio）与卡方类似，基于对数似然差，适用大样本；在某些情形下对偏差更敏感。精确多项式检验 / 多项式蒙特卡洛（Exact multinomial / parametric bootstrap）适用：小样本或某些类别 e_k 很小，卡方近似失效时。方法：按理论多项分布大量模拟抽样，计算观察统计量的模拟分布，得精确 p 值。推荐作为“稳健替代”。单一跨度或二类检验
二项检验（Binomial test）适用：只检验某一跨度 s0 的频率是否偏离理论 p0（o_s0 ~ Binomial(N,p0)）。提供精确 p 值与置信区间。Fisher 精确检验适用：2×2 或小列联表情况下的精确检验（当需要检验某两类/区间相关性时）。时间序列与依赖性检验（检测跨期相关或转移）
运行检验（Runs test）检测跨度序列是否随机、是否有聚集或交替趋势。自相关与 Ljung–Box 检验检查跨度序列的自相关（ACF）是否显著，检验整体独立性假设。马尔可夫/转移矩阵检验建 P(span_t | span_{t-1}) 并用卡方或似然比检验转移矩阵是否与独立模型一致。控制图与变化检测（CUSUM、EWMA、Shewhart）用于实时/序列化检测频率漂移或突变。变点检测方法（Pelt、Binary Segmentation、Bayesian change point）识别时间点后分布发生结构性变化。非参数与分布比较
Kolmogorov–Smirnov（K–S）检验主要用于连续分布；对离散跨度不太合适但可经调整或用模拟校正。Mann–Whitney 等秩和检验若把跨度视为序数，可用于两个时期的中位或位置差异比较（非参数）。效应量、置信区间与后验推断
Cramér’s V（或 phi）作为多类别效应量衡量偏离大小（与 χ2 配合使用）。标准化残差（(o_k−e_k)/sqrt(e_k)）用于识别显著偏差类别。多项式/二项置信区间：Wilson、Clopper–Pearson 或 bootstrap 方法给频率置信区间。贝叶斯方法（Dirichlet—多项后验、后验概率、Bayes factor）能给出概率性的偏离强度评估并自然处理小样本与先验信息。多重检验与选择性偏差控制
当同时检验多个跨度或多个时间窗口时，使用 Bonferroni、Benjamini–Hochberg 等方法控制错误率或 FDR。若检验策略是事后挑选的，优先用独立验证集复验发现。实现与鲁棒性建议
若期望次数小或类别很多，优先用精确/模拟方法（parametric bootstrap / Monte Carlo）。报告时同时给出 p 值、效应量、置信区间与样本量；避免仅看 p 值。做功效/样本量分析，评估检验能检测到的最小可识别偏差（effect size）。避免过拟合：事先定义检验计划或用时间上独立的数据做验证。简单的选择指南
大样本、各类期望数都够：卡方或 G 检验 + Cramér’s V；小样本或少数类别期望值低：精确多项式/蒙特卡洛模拟或贝叶斯 Dirichlet 后验；检查单一跨度：二项检验或精确二项置信区间；检查序列相关或突变：运行检验、Ljung–Box、转移矩阵、CUSUM/EWMA、变点检测；关注实际影响大小：同时计算效应量与置信区间，不只 p 值。来源：上步揽雀尾
