摘要：筛法的核心思想是：通过排除（“筛选”）掉某些整数集合中不满足条件的数（例如，被某些“小”素数整除的数），来估计剩余集合的大小，特别是估计与素数相关的集合（如素数本身、孪生素数等）。
筛法的核心思想是：通过排除（“筛选”）掉某些整数集合中不满足条件的数（例如，被某些“小”素数整除的数），来估计剩余集合的大小，特别是估计与素数相关的集合（如素数本身、孪生素数等）。
Eratosthenes
思想：Legendre 试图将埃拉托色尼筛法的思想公式化。他引入了 容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle）。公式：用 π(x) 表示不超过 x 的素数个数，P(z) 表示所有小于 z 的素数的乘积。筛法试图估计集合 {n ≤ x | (n, P(z)) = 1} 的大小，即那些不被任何小于 z 的素数整除的数的个数。Legendre 的公式为：问题：这个公式涉及 $2^{\pi(z)}$ 项求和，当 z 变大时，项数急剧增加，导致误差项完全失控，无法得到 π(x) 的良好估计。这被称为 “组合爆炸” 问题。筛法在初期被认为几乎是无效的。人物：挪威数学家 Viggo Brun。核心贡献：Brun 的革命性想法是：不必使用完整的容斥原理（即计算所有项），而是只计算其中的一部分项（前若干项）。通过巧妙地选择正项和负项的子集，他可以证明一个不等式，从而有效地控制上下界。成果： Brun 定理：他证明了孪生素数（p 和 p+2 都是素数）的倒数之和是收敛的（即 Brun 常数）。这与所有素数的倒数之和发散形成鲜明对比，暗示了孪生素数可能非常“稀疏”。 Brun 筛法：他发展出了一套系统的筛法理论，能够对满足特定条件的筛函数给出上界和下界估计。意义：Brun 是现代筛法的奠基人。他首次证明了筛法可以作为一个解析工具，用来证明关于素数分布的非平凡结果。他打开了研究加性数论（如哥德巴赫猜想）的大门。人物：挪威数学家 Atle Selberg。核心贡献：Selberg 发现了另一种构造筛函数上界的强大方法——Selberg 上界筛法。思想：他利用了一个巧妙的恒等式和二次型极小值的思想。通过选择一组优化的实参数 λ_d，他构造了一个函数，其均值总是大于或等于筛函数，从而得到一个非常强大且灵活的上界。公式：关键不等式基于意义：Selberg 筛法比 Brun 筛法在某些情况下更强大、更易于使用。它很快成为解析数论中的标准工具。例如，它可以直接给出 $\pi(x) \leq (2+o(1)) x / \ln x$ 这样的结果（虽然不如素数定理精确，但证明简单得多）。这一时期，筛法理论被系统化、精细化，并应用到更多问题上。
Rosser-Iwaniec 筛法：数学家们（尤其是 J. Barkley Rosser 和后来的 Henryk Iwaniec）将 Brun 筛法和 Selberg 筛法的思想结合起来，发展出了更精密的上界筛法和下界筛法。他们引入了“β-常数”等参数来优化筛法水平，使得对误差项的控制达到极致。应用： 哥德巴赫猜想（弱形式）：苏联数学家维诺格拉多夫（Vinogradov）在1937年利用三角和法证明了“任何足够大的奇数都可以写成三个素数之和”。而陈景润（1973） 则使用筛法（特别是加权筛法）证明了著名的 “1+2” 定理（任何一个充分大的偶数都可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和），这是迄今为止哥德巴赫猜想最好的结果。 几乎素数：筛法非常擅长处理“几乎素数”（即素因子个数很少的数）。例如，可以证明存在无穷多个“P₂”（两个素因子的乘积），它们仅相差2（孪生几乎素数）。筛法在21世纪焕发了新的活力，取得了里程碑式的成就。
GPY 方法 (2005)：Goldston, Pintz, and Yıldırım 提出了一种革命性的方法。他们将筛法（特别是 Selberg 筛法） 与在算术级数中研究素数分布的技巧相结合。核心思想：他们不再直接筛选素数对 (p, p+2)，而是考虑一个加权筛，权重在“几乎素数对”上取得极大值。他们证明了，如果素数分布具有某种非常弱的“均匀性”（即 Elliott-Halberstam 猜想或其某种弱形式），就能直接推出存在无穷多对孪生素数。张益唐的突破 (2013)：尽管完整的 Elliott-Halberstam 猜想未被证明，但张益唐成功地削弱了 GPY 方法所需的条件。他通过精湛的技巧证明了这个较弱的条件是可以被满足的，从而证明了：即，存在无穷多对素数，其差小于7000万。这一工作首次无可辩驳地证明了有界差素数对的存在性。
在张益唐工作后不久，James Maynard 和 Terence Tao 独立地提出了一种更强大、更灵活的筛法。
核心贡献：他们推广了 GPY 的加权筛法。GPY/DZhang 的方法本质上是“一维”的（只考虑一个区间）。Maynard-Tao 将其发展为高维筛法，可以同时处理多个区间。惊人成果： 他们不仅也独立证明了有界差素数对的存在，而且得到了更小的界限（Maynard 初始结果为600）。 他们证明了更强的定理：$\liminf_{n \to \infty} (p_{n+m} - p_n) 意义：Maynard-Tao 筛法是筛法理论的一个全新飞跃，它比传统筛法强大得多，目前正在被广泛应用于一系列相关问题上。阶段代表人物核心思想主要成果起源Eratosthenes确定性排除倍数找出素数解析化尝试Legendre容斥原理公式化，但误差失控奠基Brun部分求和，建立不等式孪生素数倒数之和收敛强大工具Selberg二次型极值求上界灵活的上界筛法深化Rosser, Iwaniec, 陈景润结合并优化上下界筛法哥德巴赫猜想“1+2”，系统理论复兴Goldston, Pintz, Yıldırım筛法与素数分布结合为有界差证明铺路突破张益唐实现 GPY 的弱条件存在无穷多差小于7000万的素数对新篇章Maynard, Tao高维加权筛法存在任意长度的有界差素数集群筛法至今仍然是解析数论中最活跃、最具生产力的领域之一，不断涌现出新的思想和应用。
来源：天哥教育