摘要：同底数幂乘法：\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)（如第 3 题 D 选项，\(a^2 \cdot (-a^3) = -a^{5}\)正确；A 选项\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \neq a^2 - b^2\)，完全
一、代数运算基础
（一）整式运算
幂的运算：
同底数幂乘法：\(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)（如第 3 题 D 选项，\(a^2 \cdot (-a^3) = -a^{5}\)正确；A 选项\((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \neq a^2 - b^2\)，完全平方公式展开错误）。
同底数幂除法：\(a^m \div a^n = a^{m-n}\)（如第 3 题 B 选项，\(a^6 \div a^3 = a^3 \neq a^2\)，指数计算错误）。
幂的乘方：\((a^m)^n = a^{mn}\)（如第 3 题 C 选项，\((-a^2)^3 = -a^6 \neq a^6\)，符号判断错误）。
积的乘方：\((ab)^n = a^n b^n\)（如第 9 题，\((3xy) \cdot (2x^2y) = 6x^3y^2\)，系数相乘、同底数幂指数相加）。
整式乘除与化简：
单项式 × 多项式：\(a(b+c) = ab + ac\)（如第 17 题，\(x(x^2y^2 - xy) = x^3y^2 - x^2y\)，再合并同类项）。
多项式 × 多项式：需展开所有项并合并（如第 18 题，\((x-2y)^2 - (x+4y)(3x+y)\)，先展开完全平方与多项式乘积，再去括号化简）。
多项式 ÷ 单项式：将多项式每一项分别除以单项式（如第 18 题，化简后结果除以x，得\(-2x - 17y\)）。
乘法公式应用：
平方差公式：\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)（如第 5 题 A 选项，\((-4a-1)(4a-1) = ( -1 - 4a)(-1 + 4a) = 1 - 16a^2\)正确）。
完全平方公式：\((a\pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2\)（如第 5 题 D 选项，\((x-2y)^2 = x^2 - 4xy + 4y^2 \neq x^2 - 2xy + 4y^2\)，中间项系数错误）。
（二）代数式求值与因式分解
代数式求值：
整体代入法：已知方程变形后整体代入（如第 13 题，由\(a+b=6\)，\(a^2 + b^2 = 26\)，利用\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)，得\(ab = \frac{6^2 - 26}{2} = 5\)）。
化简求值：先化简复杂代数式，再代入数值计算（如第 18 题，化简后将\(x=-2\)，\(y=1\)代入，得\(-13\)）。
因式分解：
提公因式法：提取多项式各项公因式（如第 24 题问题 2（1），\(a^2 + 3ab + 2b^2\)先提公因式，再用十字相乘法分解）。
公式法：结合平方差、完全平方公式（如第 24 题问题 1，利用\(x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)\)验证图形面积关系）。
（三）新定义运算
按给定规则转化为常规运算（如第 6 题，\(a*b = (a-b)^2\)，判断选项 C 中\(a*(b+c) = (a - b - c)^2 \neq (a - b)^2 + (a - c)^2 = a*b + a*c\)，故 C 错误）。
二、几何图形性质与判定
（一）轴对称与图形对称
轴对称图形判定：判断图形是否沿某直线折叠后，直线两旁部分完全重合（如第 1 题，识别奥运会图标对称性，B 选项为轴对称图形）。
轴对称性质应用：
线段垂直平分线：线段垂直平分线上的点到两端距离相等（如第 22 题探究一，MN是CB垂直平分线，故\(DC=DB\)；第 14 题，由作图得\(AM=BM\)，\(AN=CN\)，利用垂直平分线性质推导\(\angle BAC\)）。
角平分线：角平分线上的点到两边距离相等（如第 15 题，P在\(\angle AOB\)平分线上，故\(PC=PD\)，结合全等证明\(OB=3\)）。
坐标系中的对称：
关于 y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变（如第 23 题（1），\(A(3,4)\)经 1 次 “K 变换”（先关于 y 轴对称得\((-3,4)\)，再向下平移 2 个单位），得\(A_1(-3,2)\)）。
（二）三角形性质与全等
三角形内角和与外角：
内角和：三角形内角和为\(180^\circ\)（如第 19 题，\(\angle B=40^\circ\)，\(\angle ACB=60^\circ\)，得\(\angle BAC=80^\circ\)）。
外角性质：三角形外角等于不相邻两内角和（如第 19 题，\(\angle ACD=120^\circ\)，CE平分\(\angle ACD\)得\(\angle DCE=60^\circ\)，故\(\angle E = \angle DCE - \angle B=20^\circ\)）。
等腰与等边三角形：
等腰三角形：分类讨论顶角与底角（如第 11 题，内角\(50^\circ\)可为顶角或底角，故顶角为\(50^\circ\)或\(80^\circ\)）。
等边三角形：三边相等、三角均为\(60^\circ\)，可通过全等证明线段关系（如第 25 题（1），\(\triangle BCD \cong \triangle ACE\)，得\(AE=BD=2\)）。
全等三角形判定与性质：
判定定理：SAS（如第 20 题，\(AC=DF\)，\(\angle A=\angle D\)，\(AB=DE\)，证\(\triangle ABC \cong \triangle DEF\)）、ASA（如第 15 题，\(\triangle CPB \cong \triangle DPA\)）。
性质应用：全等三角形对应边、对应角相等（如第 10 题，添加\(AC=AD\)，结合\(\angle C=\angle D\)，\(\angle BAC=\angle EAD\)，证\(\triangle ABC \cong \triangle AED\)）。
（三）多边形与作图
正多边形性质：
外角和：任意多边形外角和为\(360^\circ\)，正多边形每个外角相等（如第 4 题，外角\(36^\circ\)，边数\(=360^\circ \div 36^\circ = 10\)）。
正五边形：内角\(108^\circ\)，利用等腰三角形性质推导角度与线段关系（如第 7 题，\(\angle AGC=108^\circ\)，\(AG=AE\)等结论均正确）。
尺规作图：
作线段垂直平分线（如第 22 题探究一，作CB垂直平分线交AB于D，证\(\triangle DCB\)与\(\triangle DCA\)为等腰三角形）。
复杂作图：结合对称与平移（如第 23 题（1），画\(\triangle ABC\)经 “K 变换” 后的图形）。
三、综合与新定义问题
（一）图形面积与代数等式
利用图形面积验证代数公式（如第 24 题问题 1，4 个 B 类图形围正方形，得\(x=a+b\)，\(y=b-a\)，验证\(x^2 - y^2 = 4ab\)等等式；问题 2，拼 “类长方形” 需分解面积表达式，如\(3a^2 + mab + 2b^2\)分解为\((3a+b)(a+2b)\)，得\(m=7\)）。
（二）最短路径与角度计算
轴对称求最短路径：作对称直线，利用垂线段最短（如第 8 题，作m关于n的对称直线\(m'\)，B到\(m'\)的垂线段长为\(BD+CD\)最小值，结合\(30^\circ\)角得\(BH=3\)）。
三角板角度计算：利用平行线性质与三角形外角（如第 12 题，两斜边平行，\(\angle 1=75^\circ\)）。
（三）“包含图形” 新定义
一阶 / 二阶包含图形：根据对称规则确定直线位置与坐标范围（如第 26 题（1）①，\(A(-1,1)\)是CE的一阶k包含图形，\(k=\frac{-1+4}{2}=\frac{3}{2}\)；（2）\(A(a,1)\)经二阶对称后，\(A_2(4+a,1)\)在BD上，得\(-3 \leq a \leq 3\)）。
（四）三角形综合应用
动态与最值问题：结合等边三角形与全等，分析点的运动轨迹（如第 25 题（3），\(AE \parallel BC\)，\(DE \perp AE\)时AE最小，得\(AE=2\)）；第 16 题，\(\triangle ABC\)中\(AB=AC\)，\(\angle BAC=120^\circ\)，证\(\triangle BEF\)为等边三角形等结论。
来源：貉子教育