摘要：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、CD边上的点，且AE=CF=AB，DG⊥EF，垂足为G，已知黄色三角形DFG的面积是9平方厘米，求红色三角形BCG的面积。

【题目】

如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是AB、CD边上的点，且AE=CF=AB，DG⊥EF，垂足为G，已知黄色三角形DFG的面积是9平方厘米，求红色三角形BCG的面积。

图1

【分析与解答】

如图2：延长DA、FE相交于点H。

图2

因为AE=CF= AB，

所以AE:DF=1:(4-1)=1:3；

△HDF是由△HAE按比例放大得到的。

所以：

HA::HD=HE:HF=AE:DF=1:3，

可得HA：AD=1:2，即HA=AD。

假设AB为1，则HD=，DF=。

所以直角三角形HDF的两条直角边的比是：

HD:DF=:=1:2。

又因为DG⊥EF，

所以△DGF、△HGD是由△HDF按比例缩小得到的。

所以DG:GF=HG:DG=HD:DF=2:1。

假设GF=a，则DG=2a，HG=4a。

可得HG:GF=4:1。

所以：

S△HGD=9×4=36平方厘米，从而可得，S△HDF=36+9=45平方厘米。

如图3，连接AG、AF和BF。

图3

则S△ADG=36÷3×2=24平方厘米。

S△HAF=45÷3=15平方厘米，

又因为HE:HF=1:3。

所以S△EFA=15÷3×2=10平方厘米；

又因为AE=AB，

所以S△ABF=10×4=40平方厘米，即正方形ABCD面积的一半是40平方厘米。

而S△BCG+ S△ADG=S□ABCD=40，

来源：志泽教育