摘要：15组物理公式按主题逐一拆解：给出每个符号的物理意义、公式的来龙去脉、使用范围、常见误区，以及它们在现代物理或工程中的延伸。
15组物理公式按主题逐一拆解：给出每个符号的物理意义、公式的来龙去脉、使用范围、常见误区，以及它们在现代物理或工程中的延伸。
这些公式几乎覆盖本科普通物理到高等量子、统计、广义相对论的核心。
它们彼此之间通过守恒律、对称性、极限过渡相互联系：
低速极限下，相对论能量退化为 ½ m v² + m c²。
大量粒子极限下，量子配分函数给出经典热力学。
麦克斯韦方程在几何光学极限下退化为射线方程。
掌握这些公式的“边界”——何时适用、如何修正、如何推广——比死记符号更重要。
1 时空与运动
1.1
x = x₀ + v t + ½ a t²
背景：伽利略—牛顿时空观下的“匀加速直线运动”。
推导：对 a = 常数积分两次即可。
关键变量：
x₀——t = 0 时的位置；v——初速度；a——恒定加速度。
使用范围：
仅当 a 恒定且参考系为惯性系；若坐标系本身在加速（如旋转地球），需引入惯性力。
常见误区：
把 v 误当作“瞬时速度”而非“初始速度”；把公式用于变加速运动。
1.2
r⃗ = (x, y, z)
含义：把空间几何点映射到实数三元组；坐标系的选取完全人为。
延伸：在广义相对论中，r⃗ 只是局部惯性系里的近似；真正决定物理的是时空事件 (t, x, y, z)。
1.3
v⃗ = dr⃗/dt , a⃗ = dv⃗/dt
微分定义：速度是位置对时间的“瞬时变化率”，加速度是速度的变化率。
注意：dr⃗/dt 的方向沿轨迹切线；|v⃗| 才是速率。
三维推广：r⃗(t) 可写成 r⃗(t) = (x(t), y(t), z(t))，则 v⃗ = (ẋ, ẏ, ż)。
2 牛顿力学
2.1
F⃗ = m a⃗
地位：牛顿第二定律；现代写法 F⃗ = dp⃗/dt 更具普适性（m 可变时也成立）。
分量式：F_x = m a_x 等。
适用范围：宏观、低速；当 v → c 时须用相对论动力学。
2.2
τ⃗ = r⃗ × F⃗
定义：力对某参考点 O 的“转动效应”。
量纲：[τ] = N·m；方向按右手定则给出转轴方向。
若 r⃗ 与 F⃗ 平行，则 τ⃗ = 0（力线过转轴）。
2.3
p⃗ = m v⃗
线性动量；封闭系统总动量守恒。
相对论推广：p⃗ = γ m v⃗。
2.4
L⃗ = r⃗ × p⃗
角动量；对封闭系总 L⃗ 守恒。
与 τ⃗ 的关系：τ⃗ = dL⃗/dt（角动量定理）。
3 能量
3.1
K = ½ m v²
平动动能；由 F·dx 积分得到。
相对论修正：K = (γ – 1) m c²。
3.2
U = m g h
地表附近重力势能；取 h = 0 为参考面。
若 g 随高度显著变化，需改用 U = –G M m / r。
3.3
E = K + U
机械能；只在保守力场中守恒。
若有非保守力（摩擦力）做功，ΔE = W_nc。
4 万有引力
4.1
F = G m₁ m₂ / r²
牛顿万有引力；r 为两质心间距离。
方向沿连线；超距作用观念后来被场论取代。
4.2
g = G M / R²
地球表面重力加速度；R 为行星半径。
真实 g 受自转、密度不均匀等影响，需用实测值 9.81 m/s²。
5 简谐振动
5.1
x = A cos(ω t + φ)
标准解：由 mẍ + kx = 0 得到；A 为振幅，φ 为初相。
也是傅里叶分析的基元：任何周期运动可分解为简谐叠加。
5.2
ω = √(k / m)
角频率；k 为劲度系数。
量纲检查：[k] = N/m = kg s⁻² ⇒ [ω] = s⁻¹，正确。
5.3
T = 2π/ω
周期；与振幅 A 无关（理想简谐振子）。
若系统含阻尼或驱动，T 会随振幅变化。
6 波
6.1
y = A sin(k x – ω t)
一维行波，沿 +x 方向传播；负号表示波向右移。
常写成复指数形式 e^{i(kx–ωt)} 便于干涉、衍射计算。
6.2
v = λ ν
波速 = 波长 × 频率。
介质中 v 由弹性/惯性参数决定；真空中光速 c 由 ε₀, μ₀ 决定。
6.3
k = 2π / λ
波数；表示 2π 长度内包含几个完整波形。
动量-波数关系（德布罗意）：p = ħk。
7 热学
7.1
PV = n R T
理想气体状态方程；n 为物质的量，R = 8.314 J mol⁻¹ K⁻¹。
适用：稀薄气体、高温低密；忽略分子间作用力和分子体积。
7.2
Q = m c ΔT
热量计算；c 为比热容；ΔT 为温度变化。
若 c 随 T 变化需积分：Q = ∫ m c(T) dT。
7.3
ΔS = Q_rev / T
可逆过程熵变；不可逆过程需用 ΔS ≥ ∫ δQ/T。
统计解释：ΔS = k_B ln(W_f/W_i)，W 为微观态数。
8 电磁
8.1
F⃗ = q E⃗ + q v⃗ × B⃗
洛伦兹力；第一项电力，第二项磁力。
注意叉乘方向：右手定则；磁力不做功（始终垂直 v⃗）。
8.2
∇･E⃗ = ρ/ε₀
高斯定律（微分形式）；ε₀ 为真空介电常数。
积分形式：∮ E⃗·dA⃗ = Q_enc/ε₀，用于球对称电场快速求 E。
8.3
∇× B⃗ = μ₀ J⃗ + μ₀ ε₀ ∂E⃗/∂t
安培-麦克斯韦定律；最后一项“位移电流”让方程自洽，且预言电磁波。
取散度：∇·(∇×B⃗)=0 ⇒ ∂ρ/∂t + ∇·J⃗ = 0（电荷守恒）。
8.4
Φ_B = ∫ B⃗·dA⃗
磁通量；面积分方向按右手定则。
单位：韦伯 Wb = T·m²。
8.5
ε = –dΦ_B/dt
法拉第电磁感应；负号为楞次定律。
用于发电机、变压器、涡电流、无线充电。
9 电路
9.1
V = I R
欧姆定律宏观式；R 为电阻，与材料、温度有关。
微观式见 14.1。
9.2
P = I V
电功率；也可写成 P = I²R = V²/R。
交流电需用 RMS 值：P_avg = I_rms V_rms cosφ。
9.3
Q = C V
电容电荷量；C 为电容，取决于几何与介质。
能量存储：U = ½ C V²。
10 量子力学
10.1
i ħ ∂ψ/∂t = Ĥ ψ
薛定谔方程；波函数 ψ(r⃗,t) 含概率幅。
线性、幺正演化；测量时波函数坍缩（诠释问题）。
10.2
Ĥ = –(ħ²/2m) ∇² + V(r⃗)
单粒子非相对论哈密顿量；第一项动能算符，第二项势能。
多体情形：Ĥ = Σ_i (–ħ²/2m_i ∇i²) + Σ{i
标准的多体量子哈密顿量（非相对论、无外场、瞬时势近似）
10.3
Δx Δp ≥ ½ ħ
海森堡不确定性原理；Δ 表示标准差。
根源于非对易算符 [x̂, p̂] = i ħ。
11 相对论
11.1
γ = 1/√(1 – v²/c²)
洛伦兹因子；v → c 时 γ → ∞，禁止超光速。
在加速器设计中 γ 决定同步辐射功率。
11.2
E = γ m c²
总能量；静止能量 E₀ = m c²。
动能 K = (γ – 1) m c²。
11.3
E² = (pc)² + (m c²)²
能量-动量关系；无质量粒子 (m = 0) ⇒ E = pc（光子）。
用于康普顿散射、粒子衰变计算。
12 统计物理
12.1
正则系综（NVT）的配分函数，统计力学里的“万能母函数”
Z = Σ_i e^{–β E_i}
正则配分函数；β = 1/(k_B T)。
归一化因子，连接微观与宏观。
12.2
⟨E⟩ = –∂ ln Z / ∂β
平均能量；可推广到磁化强度、压强等：⟨X⟩ = –(1/β) ∂ ln Z / ∂λ。
巨正则系综需引入化学势 μ：Ξ = Σ_i e^{–β(E_i – μ N_i)}。
13 散射与截面
13.1
σ = (1/I₀) (dN/dΩ)
微分截面；I₀ 为入射通量，dN/dΩ 为单位立体角内散射粒子数。
量纲：面积；核物理中 1 barn = 10⁻²⁸ m²。
13.2
λ = 1 / (n σ_tot)
平均自由程；n 为靶粒子数密度。
气体动力学、中子扩散、半导体迁移率均用此式。
14 凝聚态
14.1
j⃗ = σ E⃗
微观欧姆定律；σ 为电导率，与载流子密度 n、散射时间 τ 有关：σ = n e² τ / m。
张量形式：j_i = σ{ij} E_j（各向异性晶体）。
14.2
ħ k⃗ = m v⃗
晶体中电子准动量；m 为有效质量，可正可负，由能带曲率决定。
在石墨烯中 m → 0，呈现相对论式色散。
15 引力与宇宙学
15.1
G{μν} + Λ g{μν} = 8πG T{μν}
爱因斯坦场方程；G{μν} 为爱因斯坦张量，描述时空曲率；T{μν} 为能动张量。
Λ 为宇宙学常数，驱动加速膨胀。
解例：史瓦西解（黑洞）、FRW 解（宇宙膨胀）。
15.2
H = ȧ/a
哈勃参数；a(t) 为宇宙尺度因子，点号表时间导数。
当前测量值 H₀ ≈ 70 km s⁻¹ Mpc⁻¹。
与宇宙年龄 t₀ ≈ 1/H₀（量级估计）。
来源：永不落的红黑心