摘要：几个世纪以来，素数一直吸引着数学家的想象力，他们不断寻找新的模式来帮助识别它们以及它们在其他数字中的分布方式。素数是大于 1 的整数，只能被 1 和它们自己整除。三个最小的素数是 2、3 和 5。很容易找出小数是否是质数——你只需要检查哪些数字可以分解它们。然

使用一种称为整数分区的概念，数学家发现了一种检测素数的新方法，同时还以一种意想不到的方式将两个数学领域连接起来

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几个世纪以来，素数一直吸引着数学家的想象力，他们不断寻找新的模式来帮助识别它们以及它们在其他数字中的分布方式。素数是大于 1 的整数，只能被 1 和它们自己整除。三个最小的素数是 2、3 和 5。很容易找出小数是否是质数——你只需要检查哪些数字可以分解它们。然而，当数学家考虑大量数字时，辨别哪些是素数的任务很快就会变得困难。尽管检查数字 10 或 1,000 是否具有两个以上的因数可能是可行的，但这种策略对于检查巨大的数字是质数还是复合数是不利的，甚至站不住脚。例如，已知最大的素数，即 2的136279841次方− 1 的长度为 41,024,320 位。乍一看，这个数字似乎大得令人难以置信。然而，鉴于有无限多个不同大小的正整数，与更大的素数相比，这个数字是微不足道的。

此外，数学家想要做的不仅仅是乏味地尝试逐个分解数字以确定任何给定的整数是否是素数。“我们对质数感兴趣，因为它们有无限多的数量，但很难识别它们中的任何模式，”弗吉尼亚大学的数学家 Ken Ono 说。尽管如此，一个主要目标是确定质数如何在较大的数字集中分布。

最近，小野和他的两位同事——美国海军学院的数学家威廉·克雷格（William Craig）和德国科隆大学的数学家扬-威廉·范·伊特瑟姆（Jan-Willem van Ittersum）——发现了一种寻找素数的全新方法。“我们已经描述了无数种新的标准来精确确定素数集，所有这些标准都与'如果你不能分解它，它必须是素数'非常不同，”小野说。他和他的同事的论文发表在美国国家科学院院刊上，在表彰科学卓越和原创性的物理科学奖中获得亚军。小野指出，从某种意义上说，这一发现为数字是素数的含义提供了无数的新定义。

该团队策略的核心是一个称为整数分区的概念。“分区理论非常古老，”小野说。它的历史可以追溯到 18 世纪的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉 （Leonhard Euler），随着时间的推移，数学家们不断对其进行扩展和完善。“乍一看，隔板似乎是儿戏的东西，”Ono 说。“你可以用多少种方法把数字相加得到其他数字？”例如，数字 5 有七个分区：4 + 1、3 + 2、3 + 1 + 1、2 + 2 + 1、2 + 1 + 1 + 1 + 1 和 1 + 1 + 1 + 1。

然而，事实证明，这个概念作为一把隐藏的钥匙非常强大，它解锁了检测素数的新方法。“值得注意的是，这样一个经典的组合对象——分割函数——可以用来以这种新颖的方式检测素数，”科隆大学（University of Cologne）的数学家凯瑟琳·布林曼（Kathrin Bringmann）说。（Bringmann 之前曾与 Ono 和 Craig 合作过，她目前是 van Ittersum 的博士后导师，但她没有参与这项研究。Ono 指出，这种方法的想法源于他以前的学生之一 Robert Schneider 提出的一个问题，他现在是密歇根理工大学的数学家。

Ono、Craig 和 van Ittersum 证明，素数是分区函数中特定类型多项式方程的无限数的解。以三世纪数学家亚历山大的丢番图斯 （Diophantus of Alexandria） 的名字命名丢番图方程（在他之前很久就进行了研究），这些表达式可以有整数解或有理解（意味着它们可以写成分数）。换句话说，这一发现表明，“整数分区以无限多种自然方式检测素数，”研究人员在他们的 PNAS 论文中写道。

宾夕法尼亚州立大学（Pennsylvania State University）的数学家乔治·安德鲁斯（George Andrews）编辑了PNAS的论文，但没有参与这项研究，他将这一发现描述为“全新的事物”，并且“不是预料之中的”，因此很难预测“它将走向何方”。

这一发现超越了探测素数的分布。“我们实际上是把所有的质数都钉在了鼻子上，”小野说。在这种方法中，您可以将 2 或更大的整数代入特定方程，如果它们为 true，则该整数是素数。其中一个方程是

（3n3− 13N2+ 18n − 8）米1(n） + （12n2− 120N + 212）米2(n） − 960米3(n） = 0，其中 M1(n）、M2(n） 和 M3(n）

标红数字为次方上标，绿色为下标

是经过充分研究的分区函数。研究人员在他们的 PNAS 论文中写道，“更一般地说，”对于特定类型的分割函数，“我们证明有无限多这样的具有常系数的素数检测方程。更简单地说，“这几乎就像我们的工作为你提供了无数个关于素数的新定义，”小野说。“这有点令人兴奋。”

Bringmann 指出，该团队的发现可能会带来许多新发现。“除了其内在的数学兴趣之外，这项工作可能会激发对隐藏在组合函数中令人惊讶的代数或解析特性的进一步研究，”她说。在组合学中 — 计数的数学 — 组合函数用于描述可以选择或排列集合中项目的方式数量。“更广泛地说，它显示了数学中联系的丰富性，”她补充道。“这些结果通常会激发跨子领域的新思维。”

Bringmann 提出了数学家可以在研究的基础上构建的一些潜在方法。例如，他们可以探索使用分区函数可以找到哪些其他类型的数学结构，或者寻找可以将主要结果扩展到研究不同类型的数字的方法。她问道：“是否有将主要结果推广到其他序列，例如合数或算术函数的值？

“在我看来，Ken Ono 是当今最令人兴奋的数学家之一，”Andrews 说。“这不是他第一次看到一个经典问题并揭示真正的新事物。”

关于素数仍然存在大量悬而未决的问题，其中许多是长期存在的。两个例子是孪生素数猜想和哥德巴赫猜想。孪生素数猜想指出，有无限多的孪生素数——由值 2 分隔的素数。数字 5 和 7 是孪生素数，11 和 13 也是如此。小野说，哥德巴赫猜想指出，“每个大于 2 的偶数至少在某种程度上是两个素数之和。但没有人证明这个猜想是正确的。

“像这样的问题困扰了几代数学家和数论家，几乎贯穿了数论的整个历史，”小野说。他说，尽管他的团队最近的发现并没有解决这些问题，但这是一个深刻的例子，说明数学家如何突破界限以更好地理解素数的神秘性质。

来源：科学研究前沿一点号