摘要：随着深度学习技术的发展，以代理模型替代传统数值计算模型逐渐被工业界和学术界认可，其在参数化设计等重复任务问题的求解上可发挥重要的作用，在物理场仿真领域为实现快速求解，基于数据驱动的模型降阶技术是近年来的研究热点。2019年数学领域提出了物理信息神经网络(Phy

阅读提示：本文约 2600 字

研究背景

PINNs目前被应用到流体力学、弹性力学和传热学等众多领域的PDEs求解，尤其在电磁场领域PINNs已经初步应用于静电场、静磁场的求解，但对于交流电机、变压器和电缆等电磁设备中的一种重要电磁场——涡流场并没有相关研究。从PDEs类型的角度来讲，涡流场方程与前者存在显著差异的同时，又存在PINNs的共性问题，因此本文研究PINNs对于以频域涡流场代表的电磁场方程的求解方法并对其中关键问题进行分析。

论文所解决的问题及意义

共性问题1：PINNs将PDEs及其边界条件各自的残差平方和视为多目标优化对象，使用梯度下降算法更新模型参数不断逼近物理场真实解，数学领域学者提出的PINNs方法需要人为地赋予损失函数前的权重系数，对于复杂问题通常需要不断地调节权重直到该边界条件被学习到，结果造成大量人工操作成本。

共性问题2：在面对实际材料参数尤其是高数量级源项的PDEs时，在一开始训练时会遭遇较高的损失值无法进行有效梯度下降，该问题的解决对于PINNs求解实际参数问题具有重要意义。对于频域涡流场方程使用神经网络进行表示和求解的同时，研究PINNs对于包含一般约束条件（电位耦合约束和施加三相电流源激励）的施加规则，验证PINNs对于该约束条件下频域涡流场的求解能力是本文要解决的问题。

论文方法及创新点

本文给出两种实用的边界条件实施方法：

1、硬边界条件方法即神经网络模型自动满足边界条件从而避免多目标优化问题；

2、自动平衡权重系数避免多目标优化失衡问题。该问题通过以下两种静电场案例说明，案例1是电磁场中常用的0值边界条件，图1(a), (b)分别为PINNs与解析解的结果对比；案例2是跃变边界条件，注意到该问题是深度学习中的典型高梯度问题，图2(a), (b)分别为PINNs与有限元的结果对比。

(a)PINN解 (b)解析解

图1 0值边界条件结果对比

(a)PINN解 (b)FEM解

图2 跃变边界条件结果对比

本文揭示了PINNs中高数量源项引发学习困难的原因是梯度爆炸，这一现象的关键问题在于PDEs残差的尺度与神经网络学习参数的尺度不统一，由于我们不能事先清楚矢量磁位解的大小，因此本文提出无先验解的无量纲方程解决该问题。该案例选择含420A电流源的静磁场，其中材料参数均为实际参数大小，求解结果如图3所示，其均方误差为2.24×10-2。

(a)PINN解 (b)有限元解

图3 含源方程求解

图4案例为三相涡流场，场方程可以使用A-φ，A法进行描述，材料参数选取需满足涡流的发生条件。本文将频域涡流场方程视为实部方程和虚部方程的耦合，使用神经网络的两个输出神经元分别表示实部解和虚部解，对于三相导体部分分别施加幅值为420A相角分别为0°, 120°, -120°的电流，边界条件使用硬边界施加，除边界条件约束之外考虑到导体为金属材料因此需要局部电位耦合约束条件。

图5(a)和(b)分别为PINN与有限元关于矢量磁位实部的求解结果，其中均方误差为1.3×10-2。图6 (a)和(b)分别为PINN与有限元关于电磁损耗的后处理结果，其中均方误差为3.3×10-2。

(a)PINN解 (b)有限元解

图4 三相涡流场求解

(a)PINN解 (b)有限元解

图5 处理结果对比

结论

本文首先对于PINNs求解电磁场方程中存在的两大共性问题给出一般解决方案，对于边界条件的施加应避免人工干预，采用边界条件消除方法或平衡策略往往会得到更加准确的结果；对于电磁场中的实际参数问题提出背后影响神经网络训练效率的原因，提出应使用无量纲化方法处理电磁PDEs以加快训练效率。

在解决两大共性问题的基础上，将PINNs推广至频域涡流场的求解中，提出使用神经网络不同输出神经元来模拟方程内部耦合现象的方法和一般约束条件的施加方法，初步证实了PINNs方法对于频域涡流场求解结果的准确性。

团队介绍

本文作者隶属于合肥工业大学电工理论与新技术科研团队，团队带头人张宇娇教授，博士生导师，中国电机工程学会高级会员，中国电机工程学会和中国电工技术学会电工理论与新技术专委会委员。省杰出青年基金获得者。先后主持国家自然科学基金项目4项，电网企业科技项目40余项。以第一/通讯作者发表论文70余篇，授权国家发明专利35项，科学出版社出版学术专著1本、出版IEEE标准1项。先后获批湖北省科技进步一等奖1项、国家电网有限公司科技进步二等奖1项。

张宇娇

教授，博士生导师，主要研究方向为电气设备多物理场建模与仿真、基于数据-物理驱动深度学习方法的多物理场快速计算、基于数字孪生的电气设备健康寿命管理。

孙宏达

硕士研究生，主要研究方向为基于物理信息神经网络的电磁场计算。

副教授，硕士生导师，主要研究方向为人工智能算法及其在电气工程领域的应用。

本工作成果发表在2024年第17期《电工技术学报》，论文标题为“基于物理信息神经网络的电磁场计算方法“。本课题得到国家自然科学基金的支持。

引用本文

张宇娇, 孙宏达, 赵志涛, 徐斌, 黄雄峰. 基于物理信息神经网络的电磁场计算方法[J]. 电工技术学报, 2024, 39(17): 5251-5261. Zhang Yujiao, Sun Hongda, Zhao Zhitao, Xu Bin, Huang Xiongfeng. Electromagnetic Field Calculation Method Based on Physical Informed Neural Network. Transactions of China Electrotechnical Society, 2024, 39(17): 5251-5261.

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来源：阳阳观科学