摘要：当火车鸣笛驶过站台时,我们会清晰地听到音调从高到低的变化。这一日常经验背后隐藏着波动传播的普遍规律——多普勒效应。1842年,奥地利物理学家多普勒首次系统阐述了这一现象:当波源与观测者之间存在相对运动时,观测到的波动频率会偏离波源的固有频率。这个看似简单的物理

当火车鸣笛驶过站台时,我们会清晰地听到音调从高到低的变化。这一日常经验背后隐藏着波动传播的普遍规律——多普勒效应。1842年,奥地利物理学家多普勒首次系统阐述了这一现象:当波源与观测者之间存在相对运动时,观测到的波动频率会偏离波源的固有频率。这个看似简单的物理原理,在天文学中却发挥着不可替代的作用。通过精密测量恒星光谱线的频移,天文学家能够确定天体的径向速度、发现系外行星、追踪星系的运动模式,甚至揭示宇宙的整体膨胀。从19世纪末光谱学的兴起,到20世纪哈勃发现星系红移与距离的关系,再到21世纪对数千颗系外行星的探测,多普勒效应始终是天文观测的基础工具。本文将从经典波动理论出发,推导多普勒频移公式的相对论修正形式,详细讨论光谱测量的技术细节,并通过双星系统、系外行星探测、星系动力学和宇宙学红移等具体案例,展示这一物理原理如何帮助人类认识从太阳系邻近到宇宙边缘的广阔天域。

1. 经典多普勒效应的波动学推导与相对论修正

从波动传播的基本图像出发,考虑一个以速度v沿观测者视线方向运动的波源。该波源发射频率为ν_0的波动,在静止介质中的传播速度为c。当波源向观测者靠近时,连续发射的波峰之间的距离被压缩,导致观测者接收到的频率升高。具体推导如下:假设波源在时刻t=0发射第一个波峰,在t=1/ν_0时发射第二个波峰,此时波源已经向观测者移动了距离v/ν_0。第一个波峰到达观测者需要时间t_1 = d/c,其中d是初始距离;第二个波峰需要时间t_2 = (d - v/ν_0)/c。两个波峰到达的时间间隔为Δt = t_2 - t_1 + 1/ν_0 = (1/ν_0)(1 - v/c),因此观测频率为ν = 1/Δt = ν_0/(1 - v/c)。

对于波源远离观测者的情况,速度v取负值,公式变为ν = ν_0/(1 + v/c)。这两个表达式可以统一写为ν = ν_0/(1 - v_r/c),其中v_r是径向速度,靠近为正,远离为负。当v_r

然而,在处理高速运动天体或要求极高精度的测量时,必须考虑狭义相对论效应。相对论多普勒公式为ν = ν_0 * sqrt((1 - β)/(1 + β)),其中β = v/c。这个公式包含了两个效应:经典多普勒频移和横向多普勒效应(时间膨胀)。即使波源垂直于视线运动,观测者也会看到频率红移,这纯粹是相对论效应。对于径向运动,当β接近1时,相对论修正变得显著。例如,当β = 0.5时,经典公式给出Δλ/λ_0 = 0.5,而相对论公式给出Δλ/λ_0 ≈ 0.732,差异达到46%。

在天文观测中,还需考虑多种效应的叠加。地球自转导致观测点相对于恒星的速度约为0.5千米每秒,地球公转速度约为30千米每秒,太阳系相对于本地静止标准的运动约为20千米每秒。这些运动都会引入多普勒频移,必须在数据处理中仔细扣除。此外,引力红移也会影响光谱线的位置:从质量为M、半径为R的天体表面发出的光,到达无穷远处时波长会增加Δλ/λ_0 = GM/(c^2 R)。对于太阳,这个效应约为2×10^(-6),相当于0.6千米每秒的视向速度,在精密测量中不能忽略。

2. 光谱线识别与径向速度的精密测量技术

恒星的光谱包含数百条吸收线和发射线,它们对应于恒星大气中各种元素的电子跃迁。每种元素的特征谱线在实验室中的波长已被精确测定,通过比较观测波长与实验室波长的差异,可以确定恒星的径向速度。最常用的谱线包括氢的巴尔末系(Hα在656.3纳米,Hβ在486.1纳米),钠的D线双重(589.0和589.6纳米),钙的H和K线(393.4和396.8纳米),以及铁的众多线(例如在438.4纳米处)。这些谱线的选择基于几个标准:足够强以便于测量,不被其他线严重混叠,覆盖较宽的波长范围以检验系统误差。

早期的径向速度测量依赖照相底片和测微计,精度约为几千米每秒。20世纪中期引入光电倍增管后,精度提高到约1千米每秒。现代测量采用电荷耦合器件作为探测器,结合高分辨率摄谱仪,常规精度达到10米每秒,最先进的仪器如高精度径向速度行星搜索器可达1米每秒。这种极端精度的实现依赖于多项技术突破。A) 温度稳定性:摄谱仪的温度波动会导致光学元件热膨胀,改变色散关系。高精度仪器将温度控制在±0.01开尔文以内,有些甚至达到毫开水平。B) 波长定标:使用钍-氩空心阴极灯或激光频率梳作为参考光源,在整个观测过程中同时记录恒星光谱和参考光谱。参考光谱的波长已知到极高精度,任何仪器漂移都会同时影响两者,通过比对可以扣除。C) 大气消光修正:地球大气的折射率随波长变化,导致不同波长的光线以略微不同的角度到达望远镜,这会引入伪多普勒频移。修正方法包括同时观测标准星,或在高海拔、干燥地点建站以减少大气效应。

具体的数据处理流程包括几个步骤。首先,从原始二维光谱图像中提取一维光谱,这涉及到定位谱线的位置、扣除背景、合并多个像素的信号。接着,利用参考光谱确定每个像素对应的波长,建立色散方程。然后,通过互相关或最小二乘拟合方法,将观测光谱与模板光谱(标准星的高信噪比光谱或理论合成光谱)进行比对,确定最佳的波长偏移。最后,将测得的偏移转换为径向速度,并进行各种修正:日心修正(扣除地球运动)、引力红移修正、对流红移修正(恒星大气的对流运动导致谱线整体偏移)。对于太阳型恒星,对流红移约为0.3千米每秒,且随谱线深度和激发电位而变化,需要仔细建模。

3. 双星系统的轨道参数测定与质量推算

双星系统提供了直接测量恒星质量的途径,而质量是理解恒星演化的最重要参数。在分光双星中,两颗恒星距离太近,无法通过望远镜分辨,但通过光谱可以观察到两组谱线的周期性摆动。当甲星向我们运动时,乙星远离,反之亦然,导致谱线在光谱中来回移动。通过测量这种运动的周期P、振幅K和相位,可以推导轨道参数。根据开普勒第三定律和牛顿力学,质量函数为f(M) = (M_2 * sin(i))^3 / (M_1 + M_2)^2 = (P * K_1^3) / (2πG),其中i是轨道倾角,M_1和M_2是两颗星的质量。

如果能同时观测到两颗星的谱线,可以测得K_1和K_2,它们的比值等于质量的反比:K_1/K_2 = M_2/M_1。这样,从两个方程可以解出质量比和质量函数,但仍包含未知的倾角sin(i)。如果双星恰好发生食,即轨道平面几乎包含视线方向,则i接近90度,可以精确确定质量。食双星的光变曲线提供了额外的信息:从食的深度可以推断两星的相对亮度,从食的持续时间可以推断轨道倾角和恒星半径。结合径向速度曲线和光变曲线的联合分析,可以同时确定M_1、M_2、R_1、R_2(半径)、i、e(轨道偏心率)等参数,精度可达百分之几或更好。

一个经典案例是仙王座β型变星系统。这类双星的主星是热的大质量恒星,伴星通常较暗。通过长期监测,天文学家发现某些系统的轨道周期在缓慢变化,这可能是由于质量转移或第三天体的存在。例如,天鹅座X-1是一个包含黑洞的X射线双星,可见星是一颗蓝超巨星,轨道周期约5.6天。通过测量蓝超巨星的径向速度变化,得到速度半振幅K_1约75千米每秒。从光变曲线确定i约27度。这些数据给出黑洞质量约14.8太阳质量,是第一个被确认的恒星级黑洞。类似的方法已经应用于数十个X射线双星,确认了约二十个黑洞候选体。

脉冲双星提供了检验广义相对论的实验室。1974年发现的PSR B1913+16由两颗中子星组成,轨道周期约7.75小时。通过精密测量脉冲到达时间的变化,可以以极高精度确定轨道参数。观测显示轨道周期以每年约76.5微秒的速率减小,这与广义相对论预言的引力波辐射导致的能量损失精确符合,相对误差小于0.2%。2017年,双中子星并合事件GW170817被激光干涉引力波天文台直接探测到,同时在多个波段观测到电磁对应体。该系统并合前的轨道参数通过引力波信号确定,而并合后的千新星辐射光谱显示了显著的多普勒增宽,反映了抛射物质的高速膨胀。

4. 系外行星的径向速度探测法与实际案例

行星围绕恒星公转时,恒星也会围绕二者的共同质心做微小的摆动。这种摆动可以通过恒星谱线的周期性多普勒频移探测到。对于质量为M_star的恒星和质量为M_planet、轨道周期为P、半长轴为a的行星,恒星的速度半振幅为K = (2πG/(P * M_star^2))^(1/3) * M_planet * sin(i) / sqrt(1 - e^2)。对于类太阳恒星和类木行星(M_planet约为木星质量,P约为4年),K约为12米每秒。木星对太阳引起的速度半振幅恰好是这个数量级,因此探测类太阳系需要长达十余年的监测和极高的测量精度。

1995年,马约尔和奎洛兹使用高精度径向速度行星搜索器在飞马座51附近发现了第一颗系外行星飞马座51b。这颗行星质量约0.47木星质量,但轨道周期仅4.2天,距离恒星仅0.05天文单位,属于"热木星"类型。它引起的恒星速度变化约为50米每秒,远大于预期的类木行星,这使得探测相对容易。飞马座51b的发现彻底改变了行星形成理论:巨行星不仅能够在恒星附近存在,还可能通过轨道迁移从远处移动到内侧轨道。这一发现为马约尔和奎洛兹赢得了2019年诺贝尔物理学奖。

到2025年,径向速度方法已经发现了超过一千颗系外行星。这些发现揭示了行星系统的巨大多样性。除了热木星,还有超级地球(质量在地球和海王星之间)、迷你海王星、偏心轨道行星等类型。统计分析显示,小质量行星比大质量行星更常见,符合行星形成的核吸积模型。通过长期监测,可以探测多行星系统,例如格利泽876系统包含四颗行星,它们之间存在轨道共振关系,提供了行星迁移和动力学演化的线索。

径向速度方法的一个重要应用是确认凌星候选体。开普勒空间望远镜和凌星系外行星巡天卫星通过光度测量发现数千个凌星候选体,但光度下降也可能由食双星、背景星等引起。径向速度观测可以排除这些伪阳性:真正的行星引起的速度变化很小,而恒星伴星会引起数千米每秒的变化。此外,结合凌星的轨道倾角信息(凌星要求i接近90度),可以从径向速度测量直接得到行星质量,而不仅仅是M * sin(i)的下限。进而,从凌星深度可以得到行星半径,质量和半径共同确定平均密度,揭示行星的内部结构。例如,开普勒-10b是第一颗被确认的岩石系外行星,其密度约为地球的1.4倍,表明由铁和硅酸盐组成。

5. 星系旋转曲线与暗物质的运动学证据

星系是由数十亿至数万亿颗恒星、气体、尘埃组成的引力束缚系统。通过测量星系不同位置的径向速度,可以绘制旋转曲线——速度相对于到星系中心距离的关系。在盘状星系中,气体云发射的21厘米中性氢谱线或电离气体的Hα发射线提供了速度信息。由于星系盘有倾角i,实际圆周速度v_circ = v_obs / sin(i),其中v_obs是观测到的视向速度。对于轴对称旋转,星系一侧接近我们(蓝移),另一侧远离(红移),速度图呈现典型的蝴蝶形图案。

根据牛顿力学,如果星系的质量主要集中在中心,外围的旋转速度应该随距离r的增加而下降,遵循开普勒定律v ∝ r^(-1/2)。然而,从1970年代起,鲁宾等人的观测显示,许多旋涡星系的旋转曲线在外围趋于平坦,即v_circ几乎不随r变化。这意味着星系的质量M(r)与r成正比,因为向心力平衡要求v^2 = GM(r)/r。由于可见物质(恒星和气体)的分布在外围急剧下降,平坦旋转曲线暗示存在大量不发光的物质——暗物质。暗物质晕延伸到远超可见盘的区域,提供了维持高速旋转所需的引力。

银河系的旋转曲线通过测量各种示踪天体(HII区、分子云、行星状星云、球状星团等)的径向速度构建。太阳位于距银心约8.2千秒差距处,该处的圆周速度约为220千米每秒。结合位置和速度数据,可以推断银河系的质量分布。观测表明,银河系的总质量约为1.5×10^12太阳质量,其中可见物质(主要是恒星)约占10%,气体约占1%,其余是暗物质。暗物质晕的密度分布通常用纳瓦罗-弗伦克-怀特轮廓描述:ρ(r) = ρ_0 / [(r/r_s)(1 + r/r_s)^2],其中r_s是特征半径。

某些矮星系的旋转曲线对暗物质性质提出了挑战。模拟预言暗物质晕在中心应有尖锐的密度峰(尖峰问题),但观测到的矮星系似乎有平坦的密度芯(核问题)。另外,预言的小尺度暗物质子晕数量远多于观测到的矮星系数量(卫星问题)。这些张力可能意味着冷暗物质模型需要修正,或者重子物理过程(如超新星反馈、恒星形成)在小质量系统中的作用被低估。替代方案包括温暗物质或自相互作用暗物质,它们会抹平小尺度结构,但这些模型也面临其他约束。

星系团中的速度弥散也提供了暗物质的证据。星系团是宇宙中最大的引力束缚系统,包含数百到数千个星系。通过测量成员星系的径向速度分布,可以估算系统的动力学质量。1933年,兹威基研究后发座星系团,发现成员星系的速度弥散约为1000千米每秒。根据维里定理,M ≈ σ^2 R / G,其中σ是速度弥散,R是系统半径。计算得到的质量比可见物质多约400倍,这是暗物质存在的最早暗示。现代观测结合X射线和引力透镜数据,确认星系团中暗物质约占总质量的85%。

6. 哈勃定律与宇宙膨胀的运动学描述

20世纪20年代,哈勃利用威尔逊山天文台的胡克望远镜测量了几十个星系的距离和径向速度。他使用造父变星作为距离指示器:这类变星的光变周期与内禀光度存在确定关系,通过比较视亮度和内禀光度可以推算距离。径向速度则从星系光谱中明亮恒星或HII区的谱线频移得到。1929年,哈勃发现星系的退行速度v与距离d成正比:v = H_0 * d,其中H_0是哈勃常数。这个关系被称为哈勃定律,它揭示了宇宙正在膨胀。

哈勃定律的物理解释来自广义相对论的宇宙学解。在均匀且各向同性的宇宙中,时空度规可以写为弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃克形式:ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2[dr^2/(1-kr^2) + r^2(dθ^2 + sin^2θ dφ^2)],其中a(t)是尺度因子,k是曲率参数。尺度因子的演化由弗里德曼方程决定:(da/dt)^2/a^2 = (8πG/3)ρ - kc^2/a^2,其中ρ是宇宙的能量密度。哈勃参数定义为H(t) = (da/dt)/a,当前值即哈勃常数H_0。对于静止共动坐标系中的星系,其物理距离d = a(t) * r,退行速度v = dd/dt = (da/dt) * r = H * d,从而推导出哈勃定律。

红移z定义为Δλ/λ_0 = (λ_obs - λ_emit)/λ_emit。在宇宙学中,红移来自光子传播期间尺度因子的增大:1 + z = a(t_0)/a(t_emit),其中t_0是当前时刻,t_emit是发射时刻。对于近邻星系,z很小,可以近似v = cz。但对于遥远天体,必须使用精确关系。例如,z=1对应的退行速度不是光速,而是约为0.6c(考虑相对论修正)。实际上,"退行速度"在广义相对论中不是良定义的概念,因为不存在全局惯性系。更准确的描述是,红移反映了光子传播期间宇宙的膨胀。

哈勃常数的精确测定是现代宇宙学的重要课题。利用超新星、重子声波振荡、引力透镜时间延迟等方法,当前最佳估计在67到73千米每秒每百万秒差距之间,不同方法之间存在约5千米每秒的张力。这种张力可能意味着系统误差尚未完全控制,或者标准宇宙学模型(ΛCDM模型)需要修正。例如,早期暗能量或相互作用暗能量模型可以在一定程度上缓解张力,但这些模型也面临其他观测约束。通过改进距离阶梯的各个环节(造父变星周光关系、超新星标准化、星系团物理)和发展新的测距方法(引力波标准汽笛),未来有望解决哈勃常数问题。

7. 类星体的多普勒增宽与黑洞质量估算

类星体是极其明亮的活动星系核,其能量来源是超大质量黑洞吸积周围物质释放的引力势能。类星体的光谱显示宽发射线,典型半高宽达数千千米每秒。这些发射线来自广线区,该区域距黑洞约0.01到1秒差距,密度约为10^9厘米^(-3),气体以高速围绕黑洞运动。发射线的宽度主要由多普勒增宽造成:不同视向速度的气体云发射的光子叠加,形成宽谱线。假设气体云的速度为v,如果速度各向同性分布,发射线轮廓接近高斯形状,半高宽FWHM ≈ 2v。

通过测量发射线的宽度和光度,可以估算黑洞质量。物理图像是,广线区气体在黑洞引力下维里化运动,满足v^2 ≈ GM_BH/R,其中M_BH是黑洞质量,R是广线区半径。R可以通过回响映射方法测定:连续谱的光度变化会导致发射线光度变化,两者之间存在时间延迟τ,该延迟等于光穿越广线区所需时间,因此R = c * τ。结合速度和半径,黑洞质量为M_BH ≈ f * v^2 * R / G,其中f是几何因子,取决于气体云的空间和速度分布,典型值约为1到10。

对于遥远类星体,回响映射不可行,因为需要长期监测。替代方法是利用经验关系:广线区半径与连续谱光度相关,R ∝ L^(0.5)。这个关系在近邻活动星系核中通过回响映射校准,然后应用到高红移类星体。例如,对于红移z=7的类星体(对应宇宙年龄约7亿年),观测到的Lyα发射线半高宽约5000千米每秒,光度约10^47尔格每秒。根据经验关系,估算黑洞质量约为10^9太阳质量。这些超大质量黑洞的早期形成对标准吸积理论提出挑战:从恒星级黑洞种子(约10太阳质量)以爱丁顿速率吸积,需要约8亿年才能达到10^9太阳质量,而宇宙当时只有7亿年历史。可能的解决方案包括超爱丁顿吸积、重种子黑洞(由气体云直接坍缩形成,质量达10^4到10^5太阳质量)、或黑洞并合的贡献。

类星体外流是另一个与多普勒效应相关的现象。许多类星体光谱显示蓝移的吸收线,表明气体以数千千米每秒的速度向外流动。这些外流可能由辐射压或喷流驱动,携带大量能量和动量进入宿主星系,影响恒星形成和星系演化(所谓的活动星系核反馈)。外流的速度和质量流率可以从吸收线的多普勒频移和等值宽度推导。观测显示,外流速度通常为逃逸速度的数倍,表明部分物质能够逃离星系。数值模拟表明,活动星系核反馈是解释星系质量-金属丰度关系和大质量星系颜色双峰分布的重要机制。

8. 星际介质的速度场与银河系结构追踪

银河系盘中的中性氢气体发射21厘米射电谱线,这是氢原子基态超精细结构跃迁产生的。通过测量不同视线方向21厘米谱线的频率和强度,可以绘制银河系的氢气分布和速度场。具体方法是,假设气体做圆周运动,从观测到的视向速度v_los和银经l、银纬b,利用旋转曲线V(R)可以推算气体到银心的距离R。对于位于银道面内(b≈0)的气体,视向速度v_los = V(R) * sin(l) - V_0 * sin(l),其中V_0是太阳的圆周速度。这个方法称为切点法,在银经l=90度和270度方向最有效,此时视线与圆周速度方向一致。

然而,实际情况比简单圆周运动复杂得多。银河系具有棒状核球和旋臂结构,这些非轴对称成分引起气体的非圆周运动,称为流动速度。在旋臂的前缘,气体受到密度波的压缩,速度方向偏离圆周方向约10到20千米每秒。通过详细分析21厘米谱线的轮廓,可以识别多个速度成分,它们对应于视线上不同距离的气体云。例如,在银经l=30度方向,典型的21厘米谱显示三到四个峰,分别对应于本地臂、人马臂、盾牌-半人马臂等结构。每个峰的中心频率给出该处气体的视向速度,峰的宽度反映速度弥散(包括热运动和湍流)。

分子云的速度通过一氧化碳毫米波发射线测量。CO的转动跃迁J=1-0在115千赫兆,J=2-1在230千赫兆。分子云的质量范围从几太阳质量到数百万太阳质量,它们是恒星形成的场所。速度测量揭示,分子云内部存在复杂的速度结构,反映湍流级联过程。拉尔森定律描述了分子云速度弥散与尺度的关系:σ_v ≈ 1 * (L/1秒差距)^(0.5) 千米每秒,其中L是云的尺度。这个幂律关系从0.01秒差距到100秒差距都成立,暗示湍流在各个尺度上起主导作用。多普勒频移还用于研究分子外流:年轻恒星驱动的双极外流以数十千米每秒的速度喷出,产生红移和蓝移的分子发射。通过绘制位置-速度图,可以追踪外流的形态和动力学。

星系尺度的气体速度场揭示了银河系的整体动力学。除了旋转,还存在径向流动和垂直运动。气体从外盘向内流动,为中心区域的恒星形成提供燃料。银河系中心的分子环在半径约200秒差距处,包含约5000万太阳质量的分子气体,该区域的恒星形成率比外盘高数倍。速度测量显示,中心区域的气体运动混乱,受到棒的引力矩和超新星反馈的共同影响。三维速度场的重建需要结合自行测量(通过比较不同年代的图像得到横向运动)和径向速度,盖亚卫星提供的高精度自行数据使得这种重建成为可能。

9. 星系碰撞与并合中的速度场演化

当两个星系相互接近时,引力相互作用导致形态扭曲和速度场混乱。触角星系是一个正在进行中的并合系统,距离我们约4500万秒差距。光学图像显示两条延伸的潮汐尾,由恒星和气体组成。通过测量不同位置的径向速度,可以重建碰撞的几何和时间尺度。观测显示,两个星系核的相对速度约为100千米每秒,预计在数亿年后完全并合。在碰撞过程中,气体受到强烈压缩,触发剧烈的恒星形成。触角星系的中心区域是宇宙中星暴活动最强的区域之一,恒星形成率约为10太阳质量每年,是银河系的数倍。

数值模拟可以再现观测到的形态和速度特征。通过调整初始轨道参数(相对速度、撞击参数、倾角)和星系质量分布,模拟可以预言系统的演化轨迹。比较模拟和观测的速度场,可以约束模型参数。对于触角星系,最佳拟合模型表明两个星系在约6亿年前开始相互作用,当前处于第二次近心点通过之后。模拟还预言,并合的最终产物将是一个椭圆星系,恒星运动以随机速度为主,不再有有序旋转。

速度场测量还揭示了并合诱导的气体外流。当星暴驱动的超新星集中爆发时,产生的热气体以数百千米每秒的速度向外膨胀,携带金属元素进入星系际介质。这种反馈过程调节星系的恒星形成历史,是理解星系演化的关键。在某些极端星暴星系如M82,外流速度达到600千米每秒,质量流率约为10太阳质量每年,与恒星形成率相当。这意味着相当部分的气体被驱逐出星系,而不是转化为恒星。多普勒频移分析显示,外流的动能约为超新星释放能量的1%,表明能量耦合效率较低,大部分能量以辐射形式损失。

星系团中的星系际介质速度结构提供了环境效应的线索。当星系以高速穿过星系团的热气体时,冲压剥离会移除星系盘中的气体,抑制恒星形成。后发座星系团中的一些旋涡星系显示单侧的Hα发射尾,长度达数十千秒差距。速度测量表明,这些尾部的气体相对于星系有数百千米每秒的相对速度,与星系相对于星系团静止系的速度一致。这证实了冲压剥离机制的作用。类似的现象在室女座星系团中也被观测到,那里的NGC 4522星系正在失去其气体盘,速度场显示气体被向后拖曳。

10. 引力红移与致密天体的时空结构探测

虽然引力红移不是由相对运动引起,但它与多普勒效应在观测上往往混合,需要仔细区分。引力红移来自光子在引力场中爬升时失去能量,频率偏移为Δν/ν_0 = -Δφ/c^2,其中Δφ是引力势差。对于弱场情况,Δφ = GM(1/r_emit - 1/r_obs),当r_obs趋于无穷时,Δν/ν_0 = -GM/(c^2 r_emit)。这个效应在太阳表面约为2×10^(-6),在白矮星表面可达3×10^(-4),在中子星表面达到0.1到0.3,接近黑洞视界时趋于无穷。

天狼星B是最早测量到引力红移的白矮星。1925年,亚当斯测量了它的光谱,发现相对于天狼星A有约80千米每秒的额外红移,扣除轨道运动后,剩余约20千米每秒对应于引力红移。现代高精度测量给出引力红移约为80千米每秒(相当于Δν/ν ≈ 3×10^(-4)),与理论预期符合。结合视差距离和光度,可以推断白矮星的质量和半径,从而检验白矮星物态方程。观测表明,天狼星B的质量约为1太阳质量,半径约为0.008太阳半径,密度达到3×10^6克每立方厘米,证实了电子简并物质的理论预言。

中子星的引力红移更为显著。通过X射线脉冲星的谱线分析,可以测量这个效应。例如,EXO 0748-676是一个低质量X射线双星,其表面在X射线暴事件后显示吸收线。某些线被认证为来自铁离子的共振散射。测量的线中心能量相对于实验室值红移约35电子伏(在6.4千电子伏附近),对应引力红移z_g ≈ 0.35。这意味着M/R ≈ 0.15(以几何单位表示),对于典型中子星质量1.4太阳质量,半径约为10千米,与核物质物态方程的预言一致。然而,不同中子星的测量结果存在较大分散,部分原因是线识别的不确定性和吸积流几何的复杂性。

黑洞附近的极端引力红移导致了许多观测特征。吸积盘内缘的发射线(如铁Kα线在6.4千电子伏)会显示不对称的轮廓:蓝翼因多普勒蓝移而增强,红翼受到引力和多普勒红移的共同作用而延展到低能。通过拟合这种相对论性展宽的线轮廓,可以约束黑洞的质量、自旋和观测倾角。例如,MCG-6-30-15的X射线光谱显示铁线延展到约3千电子伏,表明发射区域非常靠近黑洞,引力红移因子达到2以上。最佳拟合模型给出黑洞自旋参数a/M ≈ 0.99,接近极端克尔黑洞。类似的分析已应用于数十个活动星系核和X射线双星,建立了黑洞自旋的统计样本。

事件视界望远镜对M87中心黑洞的成像首次直接观测到黑洞阴影。虽然图像本身不直接涉及频移测量,但配套的光谱观测显示,喷流根部的发射显示显著红移,这来自引力效应和相对论性运动的组合。未来,通过超高分辨率的光谱成像,有望分离这些效应,进一步检验强引力场中的广义相对论预言。银河系中心黑洞人马座A*周围的恒星轨道运动也提供了检验场所。恒星S2在2018年近心点通过时,距黑洞仅120天文单位。观测显示其速度达到约7650千米每秒,谱线显示组合的多普勒频移和引力红移,总红移约为200千米每秒,与广义相对论预言符合到10%的精度。

总结而言,多普勒效应作为波动传播的基本规律,在天文观测中发挥着不可替代的作用。从经典的频移公式出发,考虑相对论修正和引力效应,我们建立了完整的理论框架来解释各种天体的光谱特征。通过精密的光谱测量技术,达到米每秒级的速度分辨率,使得探测类木行星引起的恒星摆动成为可能。双星系统的轨道分析为恒星质量测定提供了直接途径,而食双星和脉冲双星更成为检验引力理论的天然实验室。系外行星的径向速度探测方法已经发现上千颗行星,揭示了行星系统的惊人多样性,并通过与凌星法结合精确确定行星的质量和半径。星系尺度上,旋转曲线测量提供了暗物质存在的有力证据,而暗物质的分布和性质仍是当代物理学的重大谜题。哈勃定律建立的宇宙膨胀图景,通过红移-距离关系得到直接验证,哈勃常数的精确测定关系到宇宙年龄、组成和演化历史的理解。类星体的宽发射线和外流揭示了超大质量黑洞及其反馈机制,星际介质的速度场追踪了银河系的结构和动力学,星系碰撞中的速度场演化展示了引力相互作用的复杂性。引力红移作为广义相对论的预言,在致密天体研究中提供了独特的时空结构探针。这些应用共同展示了多普勒效应如何从日常现象延伸到极端天体物理环境,成为连接理论预言与观测数据的桥梁,帮助人类逐步揭示从恒星到星系、从近邻到宇宙边缘的物理本质。

来源：扫地僧说科学一点号