摘要：2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试已于上周结束了，观其数学试题发现一道多选小题可用柯东不等式快速解决，今就此不等式稍加说明，当然后面会有《2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学》试题及答案跟上节奏的！

2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试已于上周结束了，观其数学试题发现一道多选小题可用柯东不等式快速解决，今就此不等式稍加说明，当然后面会有《2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学》试题及答案跟上节奏的！

柯东不等式，即Aczel不等式，是数学中的一种重要不等式，它与柯西不等式极为相似，仅仅又是加“十”、减“一”运算关系的不同，常被视为柯西不等式的“反向”形式。

之所以叫“柯东”，这完全是名人效应的结果，就是要攀上“柯西”这颗参天大树的，沾亲带故好作文吗？那好奇的你肯定想知道，既然有柯东不等式那有没有柯南不等式或柯北不等式呢？没想到吧，还真有人把“权方和不等式”叫“柯南不等式”的，但我是不这么想的，如此则太对不起“权方和”同志了。

啊哈，废话是不是有点多啊。我们还是来看看“柯东不等式”的核心内容吧！

柯东不等式：

①二元形式（高一常用类型）：若a、b、c、d∈R，则(a²-b²)(c²-d²)≤(ac-bd)²，当且仅当ad=bc时取等号。

②多元形式：

对于高一而言，记得第一种情形就OK了。怎么利用呢？看，2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学试题第11题的C选项，即

已知a＞0，b＞0，且ab=3a+b+1，则ab的最小值是多少？

分析：

∵a＞0，b＞0，ab=3a+b+1，

∴(a-1)(b-3)=4。

又根据柯东不等式，知

(a-1)(b-3)≤［√(ab)-√3］²，

即4≤［√(ab)-√3］²，

即2≤√(ab)-√3，

（注为什么不是2≤√3-√(ab)呢？），

所以ab≥(2+√3)²，即ab的最小值是(2+√3)²，故C错误

值得一提的是，柯东不等式在求函数值域（尤其是含有双根号的）、证明不等式、解决几何问题等方面都有着广泛的应用。比如求函数y=2√(x+1)-√(x-1)的值域就可利用柯东不等式。

就在上周刚考的台州一模，其中数学卷第17题的第二问的几何问题也是可用柯东不等式来解决的！

我们先来看看台州一模第17题到底长什么样子，漂不漂亮吧？

已知△OAP三个顶点的坐标分别为

O(0，0)，A(3，4)，P(m，n)，

根据向量法求三角形面积的方法知

S=|3n-4m|/2。

再根据动点P的轨迹方程n²-2m²=1的左边形态来凑活个柯东不等式，目标就是要凑出“3n-4m”来，请看：

(n²-2m²)(3²-［2√2］²)≤

(n×3-√2m×2√2)²=(3n-4m)²，

即有1≤(3n-4m)²，

故|3n-4m|≥1，

则S=|3n-4m|/2≥1/2，即三角形OAP面积的最小值为1/2。

（注，本题为凑合柯东不等式可是损失了好多脑细胞啊！）

附向量法求三角形面积公式：

若△ABC的顶点分别为A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)、C(x₃，y₃)，则其面积为

S=|x₁(y₂-y₃)+x₂(y₃-y₁)+x₃(y₁-y₂)|/2。

最后，我们附上，2025学年第一学期浙江省9+1高中联盟高一年级期中考试数学试题及台州市2026届高三第一次教学质量评估数学试题，使大家有一个身临其境的感觉。

来源：巴山老铁