摘要：二次函数动态几何难在 “变量多、图形动”，但只要抓准 “参数设定” 和 “不变量”，就能把动态问题变静态。下面整理了 3 类常考题型的参数模板（直接套用）和 5 道典型例题（附详细解析），孩子按模板设参数、按步骤解题，不用再怕 “动来动去” 的图形。
二次函数动态几何难在 “变量多、图形动”，但只要抓准 “参数设定” 和 “不变量”，就能把动态问题变静态。下面整理了 3 类常考题型的参数模板（直接套用）和 5 道典型例题（附详细解析），孩子按模板设参数、按步骤解题，不用再怕 “动来动去” 的图形。
先明确每类题型的 “运动对象”“参数怎么设”“核心不变量”，解题时直接对照模板，不用再花时间想 “设什么参数”。
题型分类运动场景参数设定模板（核心：用 1 个参数表示所有变量）核心不变量1. 单点运动型点在抛物线上 / 直线上运动，求构成特殊图形（等腰、直角三角形）的位置若点 P 在抛物线上：设 P (t, at²+bt+c)（t 为横坐标参数，纵坐标用抛物线解析式表示）；若点 P 在直线 y=kx+b 上：设 P (t, kt+b)（t 为横坐标参数）抛物线 / 直线解析式、固定点坐标、特殊图形性质（如等腰三角形 “两边相等”）2. 双点运动型两点分别在抛物线和直线上运动，求线段和最小 / 差最大，或构成平行四边形设抛物线上点 P (t, at²+bt+c)（t 为参数），直线上点 Q (s, ks+b)（s 为参数）；若有 “PQ⊥x 轴” 等约束：则 s=t（横坐标相同），只用 t 一个参数函数解析式、平行四边形对边相等 / 对角线互相平分、线段和差公式3. 图形运动型三角形 / 四边形沿 x 轴 /y 轴平移，与抛物线产生交点或重叠面积设水平平移距离为 h（向右为正，向左为负），原图形顶点 A (x₀,y₀)→平移后 A'(x₀+h, y₀)；设垂直平移距离为 k（向上为正，向下为负），原顶点 A (x₀,y₀)→A'(x₀, y₀+k)图形的边长 / 角度（平移后不变）、抛物线解析式、重叠部分的面积公式题目：已知二次函数 y=x²-2x-3 与 x 轴交于 A (-1,0)、B (3,0) 两点，点 P 在抛物线上运动，当△PAB 为等腰三角形时，求点 P 的坐标。
参数设定：点 P 在抛物线上，设 P (t, t²-2t-3)（t 为横坐标参数）；找不变量：A (-1,0)、B (3,0)（固定点），AB 长度 = 3-(-1)=4（不变），△PAB 为等腰三角形（需满足 “两边相等”）；分类讨论列方程：情况 1：PA=AB（PA=4）由两点间距离公式：√[(t+1)²+(t²-2t-3)²] = 4，平方得：(t+1)²+(t²-2t-3)² = 16；化简：(t+1)²+[(t-3)(t+1)]² = 16 → (t+1)²[1+(t-3)²] = 16；解得 t=1（P (1,-4)）、t=-1（与 A 重合，舍去）、t=3±√3（P (3+√3, 3)、P (3-√3, 3)）；情况 2：PB=AB（PB=4）同理：√[(t-3)²+(t²-2t-3)²] = 4，解得 t=1（同上）、t=3（与 B 重合，舍去）；情况 3：PA=PB（AB 为底）由 PA=PB 得：√[(t+1)²+(t²-2t-3)²] = √[(t-3)²+(t²-2t-3)²]；平方化简：(t+1)²=(t-3)² → t=1（P (1,-4)）；检验结果：排除与 A、B 重合的点，最终 P 点坐标为 (1,-4)、(3+√3, 3)、(3-√3, 3)。题目：已知二次函数 y=-x²+2x+3，点 P 在抛物线上，点 C (0,3) 为固定点，当△POC 为直角三角形（O 为原点）时，求点 P 的坐标。
参数设定：设 P (t, -t²+2t+3)（t 为横坐标参数）；不变量：O (0,0)、C (0,3)（固定点），OC=3（垂直 x 轴），△POC 为直角三角形（需满足 “勾股定理”）；分类讨论（找直角顶点）：情况 1：∠O 为直角（OP⊥OC）OC 垂直 x 轴→OP 需平行 x 轴→P 点纵坐标 = 0；令 - t²+2t+3=0→t=3 或 t=-1→P (3,0)、P (-1,0)；情况 2：∠C 为直角（CP⊥OC）OC 垂直 x 轴→CP 需平行 x 轴→P 点纵坐标 = 3；令 - t²+2t+3=3→t=0（与 O 重合，舍去）或 t=2→P (2,3)；情况 3：∠P 为直角（OP⊥CP）由垂直性质：k_OP・k_CP = -1（斜率乘积为 - 1）；k_OP=( -t²+2t+3 - 0)/(t-0) = (-t²+2t+3)/t；k_CP=( -t²+2t+3 - 3)/(t-0) = (-t²+2t)/t = -t+2；相乘得：[(-t²+2t+3)/t]・(-t+2) = -1，化简解得 t=1→P (1,4)；检验：所有点均不重合，最终 P (3,0)、(-1,0)、(2,3)、(1,4)。题目：已知二次函数 y=x²-4x+3，点 A (0,1)，点 P 在抛物线上，点 Q 在 x 轴上，且 PQ⊥x 轴，求 PQ+PA 的最小值。
题目：已知二次函数 y=-x²+2x+3 与 x 轴交于 A (-1,0)、B (3,0)，点 P 在抛物线上，点 Q 在直线 y=x+1 上，且以 A、B、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点 Q 的坐标。
参数设定：设 P (t, -t²+2t+3)（t 为参数），Q (s, s+1)（s 为参数）；不变量：A (-1,0)、B (3,0)，AB 长度 = 4，平行四边形 “对边平行且相等” 或 “对角线互相平分”（用对角线中点相同更简单）；分类讨论（分 AB 为边或对角线）：情况 1：AB 为边，AP 为对角线中点公式：A、B 中点与 P、Q 中点相同→((-1+3)/2, (0+0)/2) = ((t+s)/2, (-t²+2t+3+s+1)/2)；即 (1,0) = ((t+s)/2, (-t²+2t+s+4)/2)→t+s=2，-t²+2t+s+4=0；解得 t=√6，s=2-√6→Q (2-√6, 3-√6)；t=-√6，s=2+√6→Q (2+√6, 3+√6)；情况 2：AB 为对角线，AP 为边中点公式：A、P 中点与 B、Q 中点相同→((-1+t)/2, (0-t²+2t+3)/2) = ((3+s)/2, (0+s+1)/2)；解得 t=2，s=0→Q (0,1)；检验：排除三点共线情况，最终 Q (2-√6, 3-√6)、(2+√6, 3+√6)、(0,1)。题目：已知二次函数 y=x²-2x-3，将直角三角形 OCD（O (0,0)、C (0,2)、D (2,0)）沿 x 轴正方向平移 h 个单位，得到△O'C'D'，当△O'C'D' 与抛物线有重叠部分时，求 h 的取值范围及重叠面积 S 与 h 的函数关系（h≥0）。
参数设定：沿 x 轴正平移 h 个单位→O'(h,0)、C'(h,2)、D'(h+2,0)（h 为平移距离参数）；不变量：△OCD 是直角三角形（直角在 O），平移后形状不变（直角在 O'，边长 OC=2、OD=2），抛物线解析式 y=x²-2x-3；找重叠条件（求 h 范围）：当 C'(h,2) 落在抛物线上时，2=h²-2h-3→h²-2h-5=0→h=1+√6（h≥0，舍去负根）；当 D'(h+2,0) 落在抛物线上时，0=(h+2)²-2 (h+2)-3→h²+2h-3=0→h=1（舍去负根）；重叠时 h 的范围：1≤h≤1+√6；求重叠面积 S (h)：重叠部分是四边形（或三角形），用 “割补法”：直线 C'D' 的解析式：y=-x+(h+2)（过 C'(h,2)、D'(h+2,0)）；联立抛物线与直线：x²-2x-3 = -x+(h+2)→x²-x-(h+5)=0；设交点横坐标为 x₁、x₂（x₁化简得 S= - (x₂³ - x₁³)/3 + (x₂² - x₁²)/2 + (h+5)(x₂ - x₁)，代入根与系数关系（x₁+x₂=1，x₁x₂=-(h+5)），最终 S= - (2h² - 8h - 23)/6（1≤h≤1+√6）。第一步：记模板：每天花 10 分钟，熟记 3 类题型的 “参数怎么设”“不变量找什么”，比如单点运动就设 “t 为横坐标，纵坐标用抛物线解析式”；第二步：拆例题：每道例题先自己按模板设参数，再对照解析看 “哪里没考虑到”（比如分类讨论漏情况）；第三步：模仿练：找同类题，用模板套参数、列方程，重点练 “分类讨论” 和 “结果检验”，避免漏解、错解。来源：诗意枫叶