摘要：正弦现象，是人们对于自然界中广泛存在的最简单的简谐振荡类周期性物理现象的一种定义和表征；正弦波，是使用振荡波形方式对正弦现象的一种物理模型抽象；而正弦曲线函数，则是这种正弦现象的一种抽象的数学表述。

正弦现象，是人们对于自然界中广泛存在的最简单的简谐振荡类周期性物理现象的一种定义和表征；正弦波，是使用振荡波形方式对正弦现象的一种物理模型抽象；而正弦曲线函数，则是这种正弦现象的一种抽象的数学表述。

（a）单位圆上动点轨迹图；（b） y(t)=sin(ωt+θ) 曲线图

通常，人们介绍正弦概念，会使用xoy 平面直角坐标系中的匀速圆周运动的轨迹投影映射来进行，如图a所示，在以坐标原点(0,0) 为圆心的单位圆上，在时刻t=0 处的动点P 围绕单位圆以角速度ω 逆时针匀速运动，其在y 坐标轴上的投影坐标y 的变化轨迹，为符合正弦运动规律的直线段，记为y(t)=sin(ωt+θ)，如图b所示

自然界的物理现象是复杂多变的，异彩纷呈，变化万千。人们认为，在多数情况下，它们符合叠加原理表述的规律，即任何复杂多变的周期性物理现象，都可以表述为多个最简单的正弦现象的线性叠加。进而，人们又发现，那些在有限条件下、有限区间以内的复杂多变的非周期性物理现象，也可以使用多个最简单的正弦现象的线性叠加来进行表征和描述。由此，极大地拓展了正弦问题的领域和范畴，使许多问题均可以归结为正弦问题。正弦问题的重要性和基础地位由此可见一斑。

《正弦波模型化测量基础及应用》（梁志国著. 北京 : 科学出版社, 2024. 10）主要关注正弦现象及正弦问题的理论方法和应用，所述内容为正弦波模型化测量基础及应用，实际上属于数字化测量中正弦波形参数的估计及应用。

《正弦波模型化测量基础及应用》

梁志国著. 北京 : 科学出版社, 2024. 10

ISBN 978-7-03-079607-3

责任编辑: 陈艳峰 郭学雯

本书介绍了不同测量条件下，正弦波幅度、频率、初始相位和直流分量四个模型参数及辅助质量参数的估计方法及不确定度评定。针对量化误差、序列长度、周波数等对参数拟合误差的影响，给出了拟合误差定律。为提高参数拟合精度，介绍了一种单频数字滤波器。针对AM(调幅)、FM(调频)、PM(调相)信号的解调，给出了数字化解调方法。另外，提供了丰富的正弦拟合工程应用案例，包括数据采集系统、数字示波器、任意波发生器、调制度测量仪的校准，冲击峰值估计、随机振动分析、正弦失真测量、捷变频信号分析等，可供同行参考借鉴。

序 言

正弦波模型，作为一种完备的三角级数正交函数系，可以无限逼近的方式，用以描述自然界的所有函数规律。人们日常生活中感受到的，也是现代社会赖以生存和发展的电磁波，其麦克斯韦方程的基础解形式，就是具有最快收敛特征的三角函数形式，同样，声波传播也具有完全类似的特征。所以，无论是日常生活体验，还是工程技术应用领域，正弦函数系作为一种应用数学基础工具，具有极好的普适性和方便的使用性能。

特别感谢该书作者，在这样一个专门领域和非常基础的问题上，进行了持续三十余年的探索和发掘，取得了丰硕的学术和工程应用成果，成绩斐然，令人印象深刻。

该书内容围绕数字化测量序列中正弦波形的四个基本参数估计及其误差和不确定度评定而展开，兼具系统性、全面性、独特性和实用性。以示例方式，展示了各种不同的实际条件下正弦波形参数的估计和评价方法，具有极强的针对性和适用性，可以在绝大多数情况下获得令人满意的正弦拟合结果，为读者提供了特别的参考与借鉴。特别是书中阐述的残周期正弦拟合，任意相位条件下，可在4％的波形周期下获得曲线拟合结果；在过零点附近，可在0.03％的波形周期下获得曲线拟合结果等，这些方法都很有借鉴意义。针对量化误差给正弦拟合参数造成的拟合误差界，随序列长度变化呈现等间隔阶梯状分布规律的阐述，认识独到深刻，由此总结出的正弦拟合误差定律具有很大的指导意义和实用价值。该书的示例皆来源于工程实践，同样丰富而实用。数据采集速率测量、采样通道间延迟时间差测量、捷变频正弦的建立时间测量、数字示波器触发点定位及误差测量，同样源于正弦表征，而又各具特色，皆给人以启发和提示。

鉴于上述认识，我很高兴也很荣幸能有机缘推荐此书，以供相关领域科研人员和工程技术人员学习借鉴。

李 陟

中国科学院院士

2022 年12 月25 日

作者后记

梁志国 研究员，博士研究生导师。全国无线电计量技术委员会委员；中国计量测试学会电子计量专业委员会委员；中国空气动力学会测控专业委员会委员；全国误差与不确定度研究会理事会理事；计量学报编委；中国航空工业集团公司基础技术研究院首席专家；中国航空研究院特级专家；国务院政府特殊津贴专家。 主要研究方向：数字化测量与校准，模式识别，动态校准，精确测量。主持制定国家规范4部，获发明专利30余项。发表文章200余篇。

正弦问题及其解决方法，尽管用途足够广泛，仍然属于众多科学技术问题中一个非常具体的小问题而已，且通常认为是已经解决的小问题。对大多数人而言，早在初中时，就已经接触到正弦函数及相应概念，而在我的工作中接触使用正弦波模型化方法，始于1991年，用正弦拟合法评价数据采集系统的动态有效位数。从那时算起，至今已有三十多年的时间，其间，正弦波一直伴随在我的职业生涯中，本书的主体内容均来源于三十余年来我自己所进行的关于正弦问题的探究及应用进展。

人称“十年磨一剑”，而本书所述的工作，则是三十余年在做着如此小的一件具体事情，因此，从实质意义上说，本书的核心内容，并非用笔写就，而是由生命里的宝贵时光幻化而出。如今回想起来，其间包含许多有趣儿的进展，其中，最早真正意义上的进展体现在提出了一种频率迭代式正弦拟合算法，以解决四参数正弦拟合的收敛性问题；其后发现，解决了收敛性的拟合算法可用于调制信号的解调，其同时可用于AM、FM、PM 信号的精确解调。再后来发现，其可用于进行不足一个周波的残周期正弦参数拟合，并且，现在已知，任意相位条件下，可在4％的波形周期下获得曲线拟合结果，应用前景广阔。

通过深入分析发现，四参数正弦拟合，在等间隔采样条件下，获得的四个核心参数实际上是幅度、数字角频率、相位、直流分量。其中，数字角频率并非信号频率，而是信号频率与采集速率的比值系数，借助于它，锁定了采样速率与信号频率的严格比例关系，从而，由信号频率直接计算获得采样速率，完全没有±1 的计点误差，实现了信号频率及采样速率的高精度估计。

通过两个通道各自采样序列之间的相位差估算，解决了远小于一个采样间隔的通道间延迟时间差的估计问题，当年，它曾经是一个技术难点。

通过对量化误差给拟合参数带来的拟合误差界的规律搜索研究，发现了拟合误差界随序列长度呈现等间隔量子化阶梯变化的规律，并总结归纳出正弦拟合误差定律，用于指导实际的正弦拟合工作实践。

正弦拟合方法是一个非常神奇的模型化方法，借助于它，可以解决许多看上去风马牛不相及的技术难题。例如，本书中用它来分离数字示波器的触发延迟误差和触发电平误差，从而真正解决触发点位置的测量评价问题；使用局部正弦拟合再拓展的手段，解决捷变频通信中捷变频信号建立时间的精确评价问题；使用滑动正弦模型的解调功能，实现随机振动信号的时频分析；使用二次抽样子序列间的相位差，实现非均匀采样序列采样均匀性的定量评估；等等。众多典型应用，令人心旷神怡。只要认真研究及灵活运用，总能给人带来意外惊喜。尽管如此，本书中的示例，仍然是正弦曲线拟合应用中的沧海一粟。

今将本书内容结集成册，分享给世人，并不奢望能对相关领域起到多大推动作用，唯愿其能够抛砖引玉，提高同行解决正弦问题时的速度与效率，果能若此，余愿足矣！

本书成稿之后，曾先后经过吴惠明研究员、张宝珠高级工程师、杨永军总师、李新良研究员、王洪博部长审查指正，殷殷教诲，永难忘怀，锱铢必较，谨致谢忱！

最后，特别感谢李陟院士，百忙之中，肯抽出宝贵时间，为本书作序，并不吝溢美之词，十足令我感动万分！特别奉献昔年旧作“少年郎” 一首，略表此刻心情，诗曰：

惟独年少肯轻狂，不知天外有参商；

可向微尘求大海，能朝混沌索洪荒；

倚栏看剑问世界，只手擎天动朝纲；

晚来南墙半头血，晨起依旧少年郎。

梁志国

2023 年2 月15 日

于北京西山

本文摘编自《正弦波模型化测量基础及应用》（梁志国著. 北京 : 科学出版社, 2024. 10）一书“后记”“序”“第1章 绪论”，有删减修改，标题为编者所加。

ISBN 978-7-03-079607-3

责任编辑: 陈艳峰 郭学雯

本书主要关注正弦现象及正弦问题的理论方法和应用，介绍了不同测量条件下，正弦波幅度、频率、初始相位和直流分量四个模型参数及辅助质量参数的估计方法及不确定度评定。针对量化误差、序列长度、周波数等对参数拟合误差的影响，给出了拟合误差定律。为提高参数拟合精度，介绍了一种单频数字滤波器。针对AM(调幅)、FM(调频)、PM(调相)信号的解调，给出了数字化解调方法。另外，提供了丰富的正弦拟合工程应用案例，包括数据采集系统、数字示波器、任意波发生器、调制度测量仪的校准，冲击峰值估计、随机振动分析、正弦失真测量、捷变频信号分析等，可供同行参考借鉴。

本书可供测量、分析、应用正弦波形的计量测试人员及相关专业的院校师生参考借鉴。

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来源：阿木聊科学