摘要：求证：在任意一个圆内接凸四边形中，对角线的乘积等于每组对边乘积的和。
我们来看一道几何证明题。题目呈现：
求证：在任意一个圆内接凸四边形中，对角线的乘积等于每组对边乘积的和。
证明
在圆内接四边形ABCD中，作线段AE和BD相交于E，如图所示，且使∠BAE=∠CAD。于是
构造相似三角形证明托勒密定理
△BEA∽△CDA，
△AED∽△ABC，
因此
AC:AB=CD:BE，
AC:AD=BC:ED，
由此可得
AC·BE=AB·CD
AC·ED=AD·BC
把这两个等式相加，并注意到
BE+ED=BD，得
AC·BD=AB·CD+AD·BC
这就证明了本题的结论。
顺便指出，把任意四边形改为矩形，可得勾股定理。
上面证明的命题就是大名鼎鼎的托勒密定理。
克劳狄乌斯·托勒密（ Claudius Ptolemy ，约公元100～公元170）希腊天文学家、数学家．他是希腊裔的罗马公民，生活在罗马帝国治下的埃及，长期居住在亚历山大，曾在这里进行了大量的天文观测。
托勒密用希腊文写作，继承前贤特别是希帕克斯(Hipparchus)的成就，加以整理发挥，写成了著名之作《天文学大成》(阿拉伯学者把书名译为《至大论》)
《天文学大成》原名《数学论集》，共13卷，是亚历山大学派或整个古代天文学知识的总结．其基本理论是地球中心说．书中包含系统的三角学理论，是后来西方三角学的一个重要来源．
托勒密定理其实出于古希腊时代(公元前二世纪中叶)的希腊天文学家希帕克斯之手，作为反映三角学的最重要的基本标志的弦表，也是由希帕克斯给出的。所以，希帕克斯被誉为三角学的创始人也毫不为过。但是，希帕克斯编制的三角学史上第一张弦表已经失传，《天文学大成》中所记载的弦表，是托勒密在希帕克斯的弦表的基础上创制的。托勒密的弦表采用巴比伦的60进位制，包含了从0°到180°的每隔半度的弦表，对照现代三角函数表来看，就是一个从0°到90°的每隔四分之一度的正弦表。
托勒密定理的发现，打开了一扇通往新世界的大门。为什么这么说呢？因为托勒密定理只是书中的一个引理，它是托勒密用来在深水中抓住潜伏的大鱼的重要工具。
推导正弦函数两角和差公式
请看上图，大鱼出现了。
两角和差的三角函数公式是三角函数恒等变形公式中最基本的公式。倍角公式、半角公式、三角函数的和积互化公式、诱导公式等一系列公式都由它们导出。
首先介绍一个基础知识：用圆中弦定义正弦函数。
有人想知道正弦这个名字从何而来？用圆中弦定义正弦函数是一个合理解释。
现在我们再次审视这张图：
正弦和角公式推导图
半径为1的圆是单位圆，上图所示的圆O直径为1，没有名字，姑且称为参考圆吧。
在参考圆中，AC是直径，长度为1。圆中弦AB的长度是cosα，弦BC的长度是sinα，弦CD的长度是sinβ ，等等。
直径所对的圆周角是直角，所以三角形ABC和三角形ACD都是直角三角形。
根据图中的标注，运用托勒密定理，可得正弦函数两角和的公式：
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
(公式1)
有了上面的公式，计算sin75°的值就变得很简单。
在两角和差的三角函数公式中，最主要的是下列四个公式(公式1～公式4)：
正余弦两角和差公式
两角和差的正切公式和余切公式，可由下图推导得出。
在正余弦两角和差的四个公式中，只要证明了其中一个，其余的三个便很容易由它推出。正所谓，突破一点就是全线突破，一网成擒。
比如，我们用正弦和角公式推导图，得到了公式(1)，那么，对于剩下的三个公式，只要作下图所示的变换，就可以立即导出。
高中阶段我们学了函数的奇偶性，知道正弦函数，正切函数和余切函数都是奇函数，而余弦函数是偶函数。即sin(-α)=-sinα，而cos(-α)=cosα。在推导公式(2)的时候，这个知识点能够帮助我们判断变不变号。
在学习三角函数的时候，我们会遇到一大堆容易混淆的公式，所以很多人在学习的时候有深深的挫败感。
要学好三角函数，需要熟练掌握以上基本公式，去推导出其它的一系列三角公式。只会死记硬背而不会推导是不行的。
最后，我们用一道例题展示两角和差的三角函数公式的威力。题目呈现：
求sin18°的值。
初中同学可以用几何法求sin18°，这里，我们用三角法解题。
因为正弦函数和余弦函数互为余函数，所以有sin36°=cos54°，设x=18°，则sin36°=cos54°可以化为
sin2x=cos3x
利用倍角公式，得
2sinxcosx=4cos³x-3cosx
但 cosx=cos18°≠0，所以
2sinx=4cos²x-3
即2sinx=4(1-sin²x)-3
整理得
4sin²x+2sinx-1=0
解关于sinx的方程，得
科学尚未普及，媒体还需努力。感谢阅读，再见。
来源：百科漫谈一点号
