摘要：共17道大题。侧重考察抽象分析能力，有的题带有初高中色彩，难度不算小。

本套试卷是西工大附中丘成桐少年班数学选拔赛。

共17道大题。侧重考察抽象分析能力，有的题带有初高中色彩，难度不算小。

这里有纯原创详细解析。我尽量提供多种原创解法。

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综合题(二)第12题

12.长方体容器中已按如图方式置放了一些棱长为2cm的正方体，如果再用若干个棱长为2cm或棱长为3cm的正方体恰好填满整个长方体容器，那么还需要这样的正方体至少(请先独立思考、不看答案)块。

从附图看，大长方体高是10cm，底面长和宽分别是8cm、6cm。

题目问还需棱长为2cm或棱长为3cm的小正方体至少多少块。

“至少”的意思是，尽量多用棱长为3cm的。还要满足“恰好填满”。

请注意随时查看附图。从后侧墙壁打开缺口。

题目在后侧墙壁和左侧墙壁交界处竖直堆叠了5块棱长为2cm的正方体。

这样，在紧贴后墙上，剩余宽度为4cm。棱长为3cm的不能考虑。

所以，在后墙上，只能继续从底层往上堆叠8块棱长为2cm的正方体，贴满后墙。

再说最底层。

从附图看，最底层剩余空白为6cm×4cm。

这里的4cm，决定着不能摆放棱长为3cm的正方体。

所以，最底层只能继续摆放6块棱长为2cm的正方体，堆满底层。

贴满后墙，堆满底层，此时情形如下图。

以上，贴满后墙用了8块棱长为2cm的正方体，堆满底层用了6块棱长为2cm的正方体。这是根据不留缝隙必须的操作。

往下看大正方体剩余空间：

剩余空间是个长方体：底面为6cm×6cm的正方形，高为10－2＝8(cm)。

既然底面的长和宽都是6cm，这就可以用棱长为3cm的小正方体了。

很明显，在6×6×8的空间内，棱长为3cm的小正方体，可以堆叠两层，每层4块，共8块。

那么剩余空间为6×6×2。剩余高度为2cm。

这个高度恰好可以摆一层棱长为2cm的正方体。摆多少块？

(6×6×2)÷(2×2×2)＝9(块)。

综上，贴满后墙用了8块棱长为2cm的正方体；堆满底层用了6块棱长为2cm的正方体；棱长为3cm的正方体堆叠两层用8块；最后用9块棱长为2cm的正方体恰好铺满。共用掉正方体31块。这就是最少状态了。故答案为31。

【感悟】

大家说，最初状态，共摆放了多少块棱长为2cm的正方体？

显然是10块。

然而，我辅导的学生说，网上搜得的答案，都说最初摆放了9块。这太可笑了！

所以，我强烈建呼吁：别搜答案，坚持自己思考。

我历来给出的答案绝对纯原创。

要有自己的见解，抄来抄去读者一看就知道，轻信盲从有时无益。

本题也可换个思路解决。

8的倍数，个位数字可能是0、2、4、6、8，

27的倍数，个位数字可能是7、4、1、8、5、2、9、6、3、0，

相加等于400，则27的倍数的个位数字不能是奇数。

就是说，m必须是偶数，且小于14。

那就让m分别等于12、10、8、6、4、2，试一试。

只有当m＝8时，由27m＋8n＝400知n＝23，符合题意。

故所摆放的最少正方体情况是：棱长为2cm的正方体有10＋n＝33(块)，棱长为3cm的正方体有m＝8块，最少共计31块。

综合题第13题

13.若＝＋，其中ab为自然数，且a＜b，那么满足条件的ab一共有(请先独立思考、不看答案)组。

【点拨】我提供两种解法，解法一侧重分析推理，解法二侧重变形重组。

不能各为，那样a和b就相等了。

a和b的取值，注意3、7、21的倍数。

综上，满足条件的ab一共有4组，分别为①a＝11，b＝231；②a＝12，b＝84；③a＝14，b＝42；④a＝15，b＝35。

解法二：由＝＋得若＝，

故21(a＋b)＝2ab，

两边同乘以2得42(a＋b)＝4ab，

即4ab－42a－42b＝0，

两边同加441，得：

4ab－42a－42b＋441＝441，

即(2a－21)(2b－21)＝441，

平心而论，这种变形，别说六年级，恐怕九年级同学也不一定想出来。没法，这就是奥数。

走到(2a－21)(2b－21)＝441，自然想到分解441。

441＝1×441＝3×147

＝7×63＝9×49＝21×21。

由a＜b舍去21×21。

①若2a－21＝1、2b－21＝441：

解得a＝11，b＝231。

②若2a－21＝3、2b－21＝147：

解得a＝12，b＝84。

③若2a－21＝7、2b－21＝63：

解得a＝14，b＝42。

④若2a－21＝9、2b－21＝49：

解得a＝15，b＝35。

综合题第14题

14.一个四位数M，若它的千位数字与百位数字的差等于4，十位数字与个位数字的差等于3，则称这个四位数M为“雁塔数”。某“雁塔数”M的千位数字与百位数字和的2倍与十位数字及个位数字的和记为P，千位数字与3的差记为Q，若能被7整除，则满足条件的M最大为(请先独立思考、不看答案)。

【点拨】紧扣题意，他说一句你列一句。

“千位数字与百位数字的差等于4”，可设千位数字为m，百位数字为(m－4)，m≥5，

“十位数字与个位数字的差等于3”，可设十位数字为n，个位数字为(n－3)，n≥3，

题目要求这样的四位数最大，所以我们设千位数字比百位数字大4，十位数字比个位数字大3。

由题意，P＝2[m＋(m－4)]＋n＋(n－3)＝4m＋2n－11，

＝，题目说这厮能被7整除。

做到这，就算尽力了。往下的变形和分类讨论，才是短兵相接、能力的较量。

所以这样的四位数是8474。要求最大，确定了千位数字是8，十位数字是7，八千多就最大，往下啥都不用再试了。

本文是整套试卷详细讲解的第三篇。剩下的一篇请家长关注更新。

这套卷有难度。但，现在六年级也有不少同学在数学方面很有天赋。

想提高分析能力、提高数学的同学，可关注刘老师的免费讲解。

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布小升初、中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。不卖课、不带货、不卖资料，干干净净免费传播知识。

发文涉及科目主要有小升初奥数、中考、高考数学，物理，化学，偶尔也有英语，作文。

到了初中、高中，俺依然是您的良师益友。

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来源：诺诺课堂