摘要：一个老师，自身会多少知识，不是主要的；主要的应该是其讲解能否让不同层次的人听懂，能否把深奥的知识讲得浅显易懂。

整套试卷已经详细解析过前18道填空题。

本文继续详细讲解第19至21题。本试卷共23道题。

由于题目难度加大，故每篇文仅能详细讲解三道题。

整套试卷讲解很透彻，保姆级，纯原创，请关注刘老师持续更新。

19.将已知有一个数列：1、1、2、2、2、2、3、3、3、3、3、3、4、……试问：

(1)15是这样的数列中的第个到第个数？

(2)这个数列中第100个数是？

(3)这个数列前100个数的和是？

有家长惊呼：怎么小学生考高中数列！

不必惊呼。奥数题，咱只能按小学程度讲解。

一个老师，自身会多少知识，不是主要的；主要的应该是其讲解能否让不同层次的人听懂，能否把深奥的知识讲得浅显易懂。

第(1)问的详细分析和求解

【点拨】先看这列数的特点：

数字“1”出现2次；

数字“2”出现4次；

数字“3”出现6次；

数字“4”出现8次；往下，

数字“5”将出现10次；

数字“n”将出现(2n)次；所以，

数字“15”会出现30次。

所以，30个15的前面，有28个14；30个15的后面，有32个16。

①第一个15是数列中的第几个数？

这需要从2加到28。14个连续偶数相加。

因为从2加到28，是28个14的最后一个14。

从2加到28的计算：从两头算起。

2＋28＝30；

4＋26＝30；

6＋24＝30；

8＋22＝30；

10＋20＝30；

12＋18＝30；

14＋16＝30。

共210。这210个数之后，才开始出现30个15。

所以，第一个15，是数列中的第211个数。

②最后一个15是数列中的第几个数？

由于数字“15”在数列中出现30次，第一个15是数列中的第211个数，所以最后一个15是数列中的第240个数。

第(1)问不算难吧？先推测规律“15”会出现30次，然后求从2加到28这14个连续偶数的和。

第(2)问的详细分析和求解

【点拨】由第(1)问知，第211个数是15。

第(2)问求第100个数是几，显然比15小。

这是填空题，可以尝试。

不妨看看数字“10”是第几个数。

这列数，1出现2次；2出现4次；3出现6次；9出现18次，10出现20次。

显然，从2加到18，下一个数就是10。

从2加到18，等于90。

所以第91个数是10。

10连续出现20次，最后一个10是第110个数。

所以第100个数10。

第(2)问先根据上一问判定第100个数肯定比15小；再拿某个数试一试。我相信你不会用13、14或4、5去试。

第(3)问的详细分析和求解

【点拨】由第(2)问知，数列的第90个数字是9，从第91个数字至第100个数字是10个10。

求数列前100个数的和，可分为两部分：

①前90个数字的和；

②后10个数字，好说，10个10，等于100。

前90个数字分布情况：

2个1：和是2；

4个2：和是8；

6个3：和是18；

8个4：和是32；

10个5：和是50；

12个6：和是72；

14个7：和是98；

16个8：和是128；

18个9：和是162。

故，数列前100个数的和是(2＋8＋18＋32＋50＋72＋98＋128＋162)＋100＝670。

肯定有读者嘲笑我：刘老师，你这都是笨方法啊！

我当然不能冲着六年级的孩子大讲特讲通项公式、前n项和公式；第(3)问数列求和公式为[n(n＋1)(2n＋1)]/3，然后加上100。

20.将正整数从1开始依次按如图所示的规律排成一个“数阵”，其中2在第1个拐角处，3在第2个拐角处，5在第3个拐角处，7在第4个拐角处，………那么在第200个拐角处的数是。

这套奥数卷，规律探究较多。

【点拨】

考场上，如果时间许可，就认真做。

如果时间紧，就跳过难题，先挑着把握大的题做，形成势如破竹的心理优势，最后乘胜攻克难题。如果实在攻不下，就胡蒙瞎猜。总不能空着吧？万一蒙对呢！

咱这里认真探究。不蒙不猜。

把所知道的写出来，写着写着、看着看着，也许就发现门道了。不要对着题长时间硬看。你还没达到不动笔就能轻松看出的境界。

第1个拐角处：2；

第2个拐角处：3；

第3个拐角处：5；

第4个拐角处：7；

第5个拐角处：10；

第6个拐角处：13；

第7个拐角处：17；

第8个拐角处：21；

第9个拐角处：26；

第10个拐角处：31；

第11个拐角处：37；

第12个拐角处：43。

先写这么多吧。观察并推理：

①所有奇数个拐角处的数有啥特征？

2、5、10、17、26、37……，这些数，是否都是依次比连续自然数的平方多1？

比如，第7和拐角处是17，如何用7表达17？。

验证第11个拐角处的37：用11表达37：是不是？是。

由此推知：所有奇数个拐角处的数是：。

现在咱们说，以上探究纯属多余。

因为题目问的是第200个拐角处的数是啥。200是偶数。

②所有偶数个拐角处的数有啥特征？

第2个拐角处是3；

3＝1×2＋1，

第4个拐角处是7；

7＝2×3＋1，

第6个拐角处是13；

13＝3×4＋1，

第8个拐角处是21；

21＝4×5＋1，

第10个拐角处是31；

31＝5×6＋1，

第12个拐角处是43。

43＝6×7＋1。

这些偶数个拐角处，都看作第(2n)个拐角处。计算结果都是(2n)的一半n，乘以(n＋1)＋1。

即n(n＋1)＋1。

比如以“第8个拐角处是21”验证：8的一半是4，4×(4＋1)＋1，确实等于21。成功！

那么，第200个拐角处的数是：100×(100＋1)＋1＝10101。

顺便说，第200个拐角处，位于横档下数阵的右上角。

说明：用含n的代数式表达一列数的共同特征时，含n的代数式叫做这列数的一个通项公式。

本题我们猜想出来的两个公式，实际上都需要针对猜想严格证明。咱这里就不证明了。

数列，到高中才学。主要学等差数列和等比数列。

六年级同学：您是否觉得猜想、探究规律，然后运用规律可求出任意一项很有趣？

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21.一列自然数：0，1，2，3，……，2024，第一个数是0，从第二个数开始，每一个都比它前一个大1，最后一个是2024。现在将这列自然数排成以下数表，规定横排为行，竖排为列，则1919在数表中位于第行第列？

【点拨】

“行”，是自上而下，最上端为第一行；

“列”，是从左往右，最左边为第一列。

①竖排为列，观察左边第一列，0、1、4、9，是否为完全平方数？

②横排为行，观察上端第一行，0、3、8、15，是否都比完全平方数少1？

比如：第4行第1列的数是9，9是3的平方、3是行数减1。

由此而得：452－1＝2024，即2024位于第1行第45列。数表的右上角。

由此而得：442－1＝1935，即1935位于第1行第44列。数表的右上角。

第44列的数，自上而下，依次减少1。最上端第一个数是1935，往下第17个数是1919。

所以，1919在数表中位于第17行第44列。

这个数表是正方形。2024结尾时，数表有45行45列；1935结尾时，数表有44行44列。

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布小升初、中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。不卖课、不带货、不卖资料，干干净净免费传播知识。

发文涉及科目主要有中考、高考数学，物理，化学，也有英语，作文。

到了初中、高中，俺依然是您的良师益友。

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来源：罗罗学英语