摘要：对应关系：旋转前后图形的对应边相等（如线段旋转后长度不变，如将线段BD绕点D逆时针旋转\(90^{\circ}\)得线段DE，则\(BD = DE\)）、对应角相等（如\(\triangle ABC\)绕点B旋转得到\(\triangle DBE\)，则\(\
一、图形旋转的核心知识
1. 旋转的基本性质
对应关系：旋转前后图形的对应边相等（如线段旋转后长度不变，如将线段BD绕点D逆时针旋转\(90^{\circ}\)得线段DE，则\(BD = DE\)）、对应角相等（如\(\triangle ABC\)绕点B旋转得到\(\triangle DBE\)，则\(\angle A = \angle BDE\)）。
旋转中心与旋转角：对应点到旋转中心的距离相等（如绕原点O旋转，点A与对应点\(A'\)满足\(OA = OA'\)）；对应点与旋转中心连线的夹角等于旋转角（如顺时针旋转\(90^{\circ}\)，则\(\angle AOA' = 90^{\circ}\)）。
全等性：旋转前后的图形全等（如\(\triangle ACD\)绕点A顺时针旋转\(60^{\circ}\)得到\(\triangle ABE\)，则\(\triangle ACD \cong \triangle ABE\)）。
2. 特殊旋转角度的应用
旋转\(90^{\circ}\)：常结合等腰直角三角形性质（如旋转后形成等腰直角三角形\(\triangle DEF\)，则\(DE = DF\)且\(\angle EDF = 90^{\circ}\)）、坐标系中点的坐标变换（如点\((x,y)\)绕原点顺时针旋转\(90^{\circ}\)后变为\((y,-x)\)，如\(A(-2,4)\)旋转后得\(A'(4,2)\)）。
旋转\(60^{\circ}\)：常构造等边三角形（如线段旋转\(60^{\circ}\)后，对应点与旋转中心构成等边三角形，如\(AD = AE\)且\(\angle DAE = 60^{\circ}\)，则\(\triangle AED\)为等边三角形）。
二、中心对称与轴对称
1. 中心对称
定义与性质：两点关于某点对称（中心对称），则该点是两点连线的中点（如点P关于点M的对称点\(P'\)，则M是\(PP'\)的中点，坐标满足 “中点公式”：若\(M(t,0)\)、\(P(t+1,1)\)，则\(P'(t-1,-1)\)）。
综合应用：与 “转称点”“对应点” 等新定义结合，需先找中心对称点，再结合轴对称（如点\(P'\)关于直线OM的对称点Q，需利用轴对称性质：对称轴垂直平分对应点连线）。
2. 轴对称
线段垂直平分线：对称轴是对应点连线的垂直平分线（如点\(B'\)、N关于直线OC对称，则OC垂直平分\(B'N\)，故\(B'C = NC\)）。
坐标系中轴对称：如点关于直线\(x = t\)对称，横坐标满足 “中点为t”，纵坐标不变（如点\(P_1(-2,2)\)关于\(x = 3\)对称的点为\((8,2)\)）。
三、特殊图形的性质与旋转结合
1. 正方形与旋转
正方形的边长与角：正方形的边长相等、四个角为\(90^{\circ}\)，旋转后易构造全等三角形（如正方形ABCD中，将BE绕点B顺时针旋转\(90^{\circ}\)得BF，则\(\triangle ABE \cong \triangle CBF\)，因\(AB = BC\)、\(BE = BF\)、\(\angle ABE = \angle CBF\)）。
旋转与正方形的顶点轨迹：如正方形顶点绕某点旋转，轨迹为圆弧（如点B绕原点旋转\(90^{\circ}\)，路径长为圆弧长，需用弧长公式\(l = \frac{n\pi r}{180}\)，其中n为旋转角，r为旋转半径）。
2. 等腰（直角）三角形与旋转
等腰三角形：等腰\(\triangle ABC\)（\(AB = AC\)）旋转后，易利用 “等边对等角” 推导角度关系（如\(\angle B = \angle ACB\)，旋转后对应角相等）。
等腰直角三角形：如\(\triangle ACB\)为等腰直角三角形（\(AC = BC\)，\(\angle ACB = 90^{\circ}\)），旋转后常结合勾股定理（如\(AB = \sqrt{2}BC\)）、全等三角形（如\(\triangle ACE \cong \triangle BCF\)）。
3. 等边三角形与旋转
等边三角形的边长与角：边长相等、三个角为\(60^{\circ}\)，旋转后易构造等边三角形或直角三角形（如等边\(\triangle ABC\)，绕点A旋转后，\(AB = AC = BC\)，\(\angle BAC = 60^{\circ}\)，可利用 “三线合一” 得\(BD = CD = 1\)、\(AD = \sqrt{3}\)）。
四、全等三角形的判定与应用
1. 核心判定定理
旋转问题中高频使用SAS（边角边）、ASA（角边角）、SSS（边边边）、HL（直角斜边）判定全等：
SAS：如\(\triangle AEB \cong \triangle FED\)（\(AE = FE\)、\(\angle AEB = \angle FED\)、\(BE = DE\)）；
HL：如\(Rt\triangle ADE \cong Rt\triangle CDF\)（\(AD = CD\)、\(DE = DF\)，均为直角三角形）。
2. 全等的应用
边的等量代换：如由\(\triangle ACD \cong \triangle BCE\)得\(AD = BE\)、\(\angle CAD = \angle CBE\)；
角的等量代换：如由\(\triangle ABF \cong \triangle ADE\)得\(\angle BAF = \angle DAE\)，进而推出\(\angle FAE = 90^{\circ}\)。
五、勾股定理与线段计算
1. 直角三角形中的直接应用
已知直角边求斜边（如\(Rt\triangle ABC\)中，\(AC = BC = 3\sqrt{2}\)，则\(AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = 6\)）；
已知斜边与一直角边求另一直角边（如\(Rt\triangle DON\)中，\(\angle DON = 60^{\circ}\)，\(DN = 9\)，则\(OD = \frac{DN}{\sin 60^{\circ}} = 6\sqrt{3}\)）。
2. 综合图形中的勾股定理
结合旋转与全等，构造直角三角形（如\(\triangle BDE\)中，\(\angle DBE = 90^{\circ}\)，则\(DE = \sqrt{BD^2 + BE^2}\)）；
新定义问题中求线段长（如 “转后距” 为两点间最短距离，需先确定对应点，再用勾股定理计算）。
六、新定义问题的解题思路
理解定义：如 “转称点” 需先找中心对称点\(P'\)，再找\(P'\)关于直线的对称点Q；“对矩点” 需判断点关于直线的对称点是否在矩形边上。
转化为基础知识：将新定义转化为 “旋转、轴对称、全等、勾股定理” 等已知知识，如 “转后距” 本质是两点间最短距离，需结合旋转后图形的位置关系求解。
七、坐标系中的图形变换
平移：点的平移规律（向右平移横坐标加，向上平移纵坐标加，如\(\triangle ABC\)向右平移3个单位，点\(A(-3,1)\)变为\(A_1(0,1)\)）。
旋转与坐标：绕原点旋转\(90^{\circ}\)、\(180^{\circ}\)的坐标变换（如绕原点顺时针旋转\(90^{\circ}\)：\((x,y) \to (y,-x)\)；旋转\(180^{\circ}\)：\((x,y) \to (-x,-y)\)）。
对称与坐标：点关于直线\(x = t\)、\(y = t\)的对称坐标，结合 “中点公式” 计算。
八、弧长公式与图形面积
弧长公式：旋转中某点的路径为圆弧，弧长\(l = \frac{n\pi r}{180}\)（n为旋转角，r为旋转半径，如点\(B(4,-3)\)绕原点旋转\(90^{\circ}\)，\(OB = 5\)，则路径长\(l = \frac{90\pi \times 5}{180} = \frac{5\pi}{2}\)）。
图形面积：
割补法（如四边形\(OBAA_1\)的面积 = \(\triangle AOA_1\)面积 + \(\triangle AOB\)面积）；
特殊图形面积（如等腰直角三角形面积 = \(\frac{1}{2}\times\)直角边\(^2\)，等边三角形面积 = \(\frac{\sqrt{3}}{4}\times\)边长\(^2\)）。
来源：合华教育