摘要：数学与物理之间存在着深刻的共生关系：数学为物理现象的描述与预测提供语言和工具，而物理则不断激发新的数学概念的发现与发展。物理学中的许多重大突破，都建立在精密的数学框架之上。

数学与物理之间存在着深刻的共生关系：数学为物理现象的描述与预测提供语言和工具，而物理则不断激发新的数学概念的发现与发展。物理学中的许多重大突破，都建立在精密的数学框架之上。

历史上，数学与物理之间的这种互动关系屡见不鲜。而在当今的量子场论和宇宙学等前沿领域，这种动态关系依旧延续，在这些领域中，新的数学思想与基础物理问题正紧密交织在一起。

在一项于近期发表在《美国数学学会通讯》上的研究中，两名数学家就探讨了代数几何、代数分析与组合学在交叉领域的最新发展，以及它们在微观粒子物理学和宏观宇宙学中的应用。

粒子物理学研究的是构成物质与辐射的基本粒子及其相互作用。在数学上，散射振幅用于衡量这些相互作用中特定结果发生的概率；在实验上，物理学家通过粒子加速器来研究这些过程。粒子物理学家希望通过研究这些相互作用，来解答一些关于宇宙本质的最基本问题：宇宙是如何诞生的？由什么构成？未来又将如何演化？

20世纪40年代，理查德·费曼（Richard Feynman）提出了用图示法来计算散射振幅。现如今，费曼图已经被广泛应用于几乎所有基本相互作用的计算中，涵盖强相互作用、弱相互作用和电磁相互作用，无论是在高能物理还是低温与凝聚态体系下。

费曼图被广泛应用于几乎所有基本相互作用的计算中，这里展示的是电磁相互作用：它们全部由同一种载力粒子——光子传递。然而，即便由相同的粒子传递，相互作用的结果仍可能表现为吸引、排斥，或其他更复杂的形式。（图/V. S. de Carvalho and H. Freire, Nucl. Phys. B, 2013）

然而，费曼的图示法存在一些根本性的局限。首先，这种方法只有在像电磁力和弱核力这类耦合常数较小的相互作用中比较有效。在这些情况下，随着计算的图越来越多、越来越复杂，结果会逐渐逼近真实的物理答案。其次，我们无法仅靠增加计算项数就无限接近精确答案，费曼图方法展开的并不是一个收敛级数，而是一个渐近级数。当超过某个计算项数后，继续增加项反而会让结果偏离正确答案。

费曼图的复杂性和局限性促使科学家寻找新的语言。2013年，理论物理学家尼马·阿尔坎尼·哈米德（Nima Arkani-Hamed）和合作者提出了一种全新的几何对象——振幅多面体（amplituhedron），用于在一种特殊的量子场论中计算散射振幅。

在这一几何视角下，散射振幅不再需要拆分成无数费曼图逐项相加，而是直接通过一个只依赖于粒子初始态和末态的纯几何结构来得到。这种方法避免了追踪粒子在时空中的复杂演化过程。

振幅多面体只是更广阔的一个领域——正几何——的一个典型例子。正几何是近年来兴起的跨学科领域，涉及：

正几何的核心思想是：一些关键的物理可观测量（如散射振幅），可以被编码在某些优美的几何对象（如振幅多面体）中。

这个数学结构是一个高维几何对象，用于可视化振幅多面体。只要能计算出特定棱所投影面体的体积，就能得知相应系统的散射振幅——这是一项巨大的数学进展，并且在原理上与真实物理系统紧密相关。（图/Jgmoxness/Wikimedia Commons）

令人惊奇的是，这套几何语言不仅适用于微观的粒子世界，也延伸到了宏观的宇宙学。

宇宙学的一个基本任务，是理解物质和能量在不同时刻的分布。在实验室里，物理学家依靠粒子加速器进行高能粒子碰撞实验，来研究基本粒子的相互作用。但从某种意义上说，大爆炸本身就是一场更为宏大的“实验”，并将“实验数据”留在了今天的天空中——比如宇宙微波背景和星系的分布等。

如果我们想从这些数据中提取有用的信息，就需要新的数学工具。在理论上，宇宙学家使用“宇宙关联函数”来模拟早期宇宙初始条件的统计特性，这类似于用散射振幅描述粒子的碰撞。

而正如散射振幅可以用振幅多面体的几何结构直接给出，宇宙关联函数也可以通过正几何中的宇宙学多面体（cosmological polytopes）来重建。这种几何方法为我们提供了一条全新的思路去重建支配宇宙起源的物理规律。

作者指出，未来需要数学家与物理学家共同努力，深入研究这些新兴的几何对象和理论。令人振奋的是，已有的合作表明，这些方向不仅能加深我们对物理世界的理解，也能推动数学本身的发展。

正几何不仅是一种工具，更是一种语言——一种或许能在所有尺度上统一我们对自然理解的语言。

#参考来源：

https://www.ams.org/journals/notices/202508/noti3220/noti3220.html?adat=September

来源：原理一点号