摘要：研究量子物质的不同相及其相变是凝聚态物理的核心问题。长期以来，人们主要依赖Landau的对称性破缺范式来理解这些现象。在这一框架下，不同的相由基态中是否存在某种全局对称性的自发破缺来加以区分。然而，随着研究的深入，人们逐渐意识到Landau范式虽然强大，却不足
研究量子物质的不同相及其相变是凝聚态物理的核心问题。长期以来，人们主要依赖Landau的对称性破缺范式来理解这些现象。在这一框架下，不同的相由基态中是否存在某种全局对称性的自发破缺来加以区分。然而，随着研究的深入，人们逐渐意识到Landau范式虽然强大，却不足以捕捉量子相的全部丰富性。受对称性保护的拓扑相、具有拓扑序的相，以及受非可逆对称性等更为奇特的对称性支配的相，都要求我们超越传统的理解。
与此同时，数值方法的发展极大推动了强关联系统的研究。尤其是密度矩阵重整化群（DMRG）和张量网络方法，它们能够高效地表示和求解复杂的多体基态。这些方法之所以有效，关键在于它们充分利用了量子态的纠缠结构。纠缠的分布和强度直接决定了数值算法所需的计算资源，也决定了基态能否被忠实地刻画。
Laurens Lootens、Clément Delcamp 与 Frank Verstraete 在 《自然·物理学》发表的论文 《Entanglement and the density matrix renormalization group in the generalized Landau paradigm》 将这两条发展脉络结合在一起。文章提出，应当把纠缠和 DMRG 放置在一个扩展的 Landau 范式中来理解，在这个框架下，广义对称性和对偶性成为核心要素。作者进一步指出，在基态的张量网络表示中，如果选择那种在对偶图景里所有对称性都被自发破缺的表述，纠缠熵可以最小化，计算也最为高效。
Landau 的相变理论强调序参量的作用，把不同的相区分为保持或破缺某种全局对称性的状态。例如，在 Ising 模型中，铁磁相正是通过自发破缺自旋翻转对称性来定义的。然而，许多量子相无法依靠这种思路加以区分。受对称性保护的拓扑相相就没有局域序参量，必须通过整体纠缠特征或者边界态来刻画；拓扑有序相则拥有长程纠缠，其本质属性完全超出了传统对称性破缺的描述。
近年来，非可逆对称性、范畴对称性等概念的出现，更是把相的分类扩展到了群对称性之外。广义 Landau 范式正是在这样的背景下提出的，它试图把这些更加复杂的对称性和对偶性也纳入到相的分类框架中。
量子多体基态最鲜明的特征之一就是纠缠。在一维有能隙体系中，纠缠熵一般遵循面积律，这使得矩阵积态（MPS）等张量网络成为理想的表示工具。DMRG 正是利用这一性质，通过优化 MPS 来逼近基态。算法的效率完全取决于态的纠缠：纠缠越强，所需的 bond dimension 就越大，变分参数也随之增多。因此，理解不同相的纠缠模式，尤其是纠缠在对偶变换下的表现，直接关系到数值模拟的可行性。
Lootens 等人提出的核心观点是，一个模型基态的纠缠谱，其实可以理解为对偶模型中自发对称性破缺的反映。对于一个一维有能隙的对称格点模型，如果我们通过“gauging”等方式构造它的对偶模型，那么原本在原模型中未被破缺的对称性，可能会在对偶模型中表现为自发破缺。这样，原模型基态中纠缠谱的简并性，就恰好对应于对偶模型中的对称性破缺。
这种对应关系说明，只要在对偶图景中进行分析，就可以系统地解释原模型的纠缠特征。更重要的是，它暗示我们可以选择那种在对偶表示中所有对称性都已经破缺的表述来表示基态。在这种情况下，纠缠被压缩到最小程度，基态更接近经典态，而张量网络表示也最为简洁高效。
基于这一思想，作者提出了一种广义的 DMRG 算法。这种算法在受约束的 Hilbert 空间中运行，这些约束正是由对偶对称性破缺所决定的。由于纠缠在这种表述中被极大减少，所需的 bond dimension 和变分参数都显著降低，因而计算资源得到节省。作者在具体模型的数值实验中展示了这种优势。例如，在扰动的 Heisenberg 链模型中，广义 DMRG 相较传统方法明显降低了复杂度。这表明抽象的理论思路可以真正转化为实用的数值改进。
这一框架的重要性在于，它把纠缠、对称性破缺与对偶性有机结合，为理解量子相提供了一个统一的语言，也为数值计算提供了新的指导。通过选择最大破缺的对偶表示，研究者能够构造出最简洁的张量网络，从而在模拟大体系或强关联系统时节省大量资源。这不仅扩展了 Landau 范式的适用范围，使之涵盖非可逆和范畴对称性，还在理论与计算之间架起了一座桥梁。
当然，这一思路也面临着挑战。目前的分析主要针对一维有能隙系统，如何推广到二维或者无隙临界体系仍需探索。对偶模型的构造往往并不唯一，如何系统地找到最优的表述并非易事。至于广义 DMRG 在更复杂体系中的表现，也有待进一步检验。
将纠缠、对偶性与 DMRG 纳入广义 Landau 范式，是我们理解量子相与提升数值模拟效率的重要进展。论文展示了纠缠谱如何对应于对偶模型中的对称性破缺，并指出在对偶对称性完全破缺的表示中，基态可以获得最优的张量网络描述。这一洞见既扩展了 Landau 理论的内涵，也带来了实用的算法收益，充分体现了理论与数值方法的深度交融。
来源：万象经验一点号
