摘要：24.有三张扑克牌，牌上写有互不相同的数字(即0，1，2，3，...，9中的三个数字)，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人默记自己牌上的数字，再重新洗牌、发牌、计数，如此反复三次后，三人各自记录自己的数字和分别是13，15、23。问：这三张牌上的数字

丘成桐(长郡)奥数选拔赛整套试卷，我连发四篇，本文是最一篇。

整套试卷，我讲解很详细，且富有拓展。

上一篇文中提到的两道拓展难题，本文给出答案。

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24.有三张扑克牌，牌上写有互不相同的数字(即0，1，2，3，...，9中的三个数字)，把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人，每人默记自己牌上的数字，再重新洗牌、发牌、计数，如此反复三次后，三人各自记录自己的数字和分别是13，15、23。问：这三张牌上的数字各是多少？

【点拨】一张一张地试？时间不允许。胡蒙瞎猜？这是大题、要有过程。

每次发出三张牌，这三张牌每张牌的数字，都会被甲、乙、丙三人各默记一次。

比如这三张牌分别是1、8、9：

比如甲三次领到的三张牌分别是1、9、8，

比如乙三次领到的三张牌分别是8、1、1，

比如丙三次领到的三张牌分别是9、8、9，

您看：反复三次，这三个数字1、8、9，是否每个数字均出现3次？

那么，这九个数字之和，除以3，等于所取的三张牌数字之和。

依题意，本题所取的三张牌数字之和为(13＋15＋23)÷3＝17。

分析至此，题目问的“这三张牌上的数字各是多少”就容易了，至少知道了这三张牌上的三个数字之和为17。

如果最小的数字m＝2，鉴于有人领到的3张牌数字和为23，所以除数字2外，另两张牌数字之和为23－2＝21，这不可能，任意两张牌凑不够21。就是说，0、1、2这三张牌不用考虑。

假如任取的三张牌中有一张是10，如果某次发牌某人领了三张10，3个10大于23，不可能。如果某次发牌某人领了两张10，注意到23，此人另一张必是3。

意思是，这次游戏所取的三张牌中有10和3，由于三张牌数字总和为17，故另一张必是4。

10、3、4，能满足23，却不能满足13和15。

所以，任取的三张牌中，不能有10。

对于三次领到的3张牌数字和是23的人来说，23÷3≈7.67，所以此人三次所领的数字，最大数字不能小于8。最厉害是9，因为已经排除了数字10。

以上分析，排除了0、1、2、10，那就可以在剩下的数字当中任取三张，且这三张数字总和为17。

这样，三张数字之和是17的可能组合有：

①9、5、3(9、6、2以及9、4、4不行)。不能有2。每次发的三张是不同数字、不能重复4。故只能从9和5的组合说起。9和5的组合，满足17的只能配3。

②8、6、3；③8、5、4；

④7、6、4。

以上四种符合三张之和为17的组合，经不复杂的验证，满足13、15、23的，只有“9、5、3”符合题意。

如下表。(注：允许重复领到同一张牌，但每次发牌、牌本身不重复)

本试卷下余的两道附加题，一道是比较大小，一道需根据群论中的Burnside引理解决二面体群D6作用下对6个圆盘进行染色的不同染色方法数。抽时间再讲。

上一篇文中，我提到两道竞赛题，现在截图如下：

作者简介

中共党员，高中教务主任，常年兼任高中数学、物理、化学等科目。中考数学命题组成员。

专注教育领域，持续发布小升初、中考、高考压轴大题的多角度原创详细权威解析，力求篇篇经典。不卖课、不带货、不卖资料，干干净净免费传播知识。

发文涉及科目主要有中考、高考数学，物理，也有英语，化学，作文。

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来源：蕾蕾课堂