摘要：如图，直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=4厘米，AC=6厘米。分别以BC、AB为边长向外作正方形BCDE和正方形ABFG，求红色三角形BEG的面积。

【题目】

如图，直角三角形ABC中，∠CAB=90°，AB=4厘米，AC=6厘米。分别以BC、AB为边长向外作正方形BCDE和正方形ABFG，求红色三角形BEG的面积。

图1

【分析与解答】

红色三角形的底和高均未知，用小学知识似乎也不太好求，如何计算其面积？

如图2，连接AE，将三角形ABC绕点B顺时针旋转90度，并向下平移，使BC和EB重合。

图2

则点A点移至点H处，EH=AB=4厘米。

因为∠ABC+∠ACB=90°，即∠ABC+∠EBH=90°，

所以∠ABC+ ∠CBE+ ∠EBH=180°，

所以点A、B、H三点共线。

所以三角形ABE的面积是：4×4÷2=8平方厘米。

如图3，延长EB交AG于点M。

图3

则MB⊥CB。

因为：

∠ABM=90°- ∠ABC，

∠ACB=90°- ∠ABC，

所以∠ABM= ∠ACB，

又因为∠CAB=∠BAM=90°，

所以△ABM是由△ACB按比例缩小得到的。

所以AM:AB=AB:AC=4:6=2:3。

即AM:AG=2:3，所以AM可以看作是2份，则MG是1份。

即MG:AM=1:2。

在三角形AGE中，

S△BEG:S△BEA=MG:MA=1:2。

所以红色三角形BEG的面积是：

8÷2=4平方厘米。

来源：思无涯