摘要：数学解题中，“卡壳”的根源往往在于未识破问题的深层结构。从认知心理学与数学的链接，其实问题是知识网络的节点，结构是节点间的关联范式。只有明晰问题结构，方才能架起已知与未知的桥梁，实现从“盲目试错”到“理性建构”的解题提升。

数学解题中，“卡壳”的根源往往在于未识破问题的深层结构。从认知心理学与数学的链接，其实问题是知识网络的节点，结构是节点间的关联范式。只有明晰问题结构，方才能架起已知与未知的桥梁，实现从“盲目试错”到“理性建构”的解题提升。

数学问题结构的分析并非凭空臆造，比较有代表性的3个观点，分别是：皮亚杰的“认知结构”、弗赖登塔尔“数学结构观”、波利亚的结构要素理论。

皮亚杰从认知心理学提出，个体的认知发展依赖同化与顺应——同化是将新问题纳入已有认知结构，顺应是调整结构以适应新问题。

解题中，“识别问题结构”即“同化”，例如解一元二次方程时，调用“降次”的已有结构，利用因式分解的形式拆解成两个一次式子的积，达到降低为已有的一次方程结构来解决；而“重构结构”即“顺应”，例如遇到高次方程时，通过换元转化为低次方程，构建出新的结构。这种认知规律为解题中的“结构识别”与“结构转化”提供了心理机制支撑。

弗赖登塔尔强调“数学是‘有结构的系统’”：代数中，运算律，例如乘法分配律是贯穿整式、分式运算的结构；几何中，公理体系，尤其如欧氏几何的五条公理是整个平面几何推导的逻辑结构；函数板块的“定义域→对应法则→值域”构成函数研究的核心结构。

中学数学问题本质上是这些宏观结构的“微观嵌套”，解题即是对结构的“拆解 - 联结 - 应用”。

波利亚将解题过程拆解为：“理解题目（分析结构）—拟订方案（结构转化）—执行方案（结构应用）—回顾（结构反思）”四阶段：

（1）“理解题目”需拆解条件的元素、目标的指向及二者关联；

（2）“拟订方案”需联结知识结构（如从条件到目标的转化桥梁）；

（3）“执行方案”需将已联结知识结构在求解中具体应用

（4）“回顾”需反思结构的通用性（如本题解法能否迁移到同类问题）。

这一理论为解题的“结构分析”提供了实操纲领。

结构往往是组成整体的各部分的搭配与排列，而结构常常就会与“功能”相对，例如我们非常熟悉的石墨和金刚石，就是最典型的例子。每一个数学问题都有它的表现形式和这些形式背后蕴含的深层特征，数学问题是表现形式（条件的呈现、目标、障碍等的呈现）与深层结构（要素关联、本质规律等隐藏于问题表现形式背后，超越问题表现形式）的统一体。而解构需从三维度切入。

条件是解题的“原料”，包含“显性信息”与“隐性关联”：

（1）显性信息：如方程的系数、几何图形的边长、函数的表达式形式；

（2）隐性关联：如等式中变量的对称性，就像a+b=5与 ab=6隐含“和与积”的对称，可关联韦达定理；而图形中线段的平行、垂直关系，例如，平行四边形中对边平行且相等，可关联全等三角形判定。

解方程组：

条件结构不仅有“二元一次、二元二次”的形式，更有“和与积”的隐性关联——利用韦达定理，可将方程组转化为二次方程 t^2−5t+6=0，实现“二元再转化为一元”的结构。

目标是解题的“靶心”，涵盖“结果形态”与“认知层级”。

如“求值”“证明”“作图”“探究规律”，就是结果形态的目标；

而如记忆性（直接套用公式）、理解性（解释定理内涵）、探究性（自主建构模型）等都是认知层级。

比如在证明“三角形中位线定理”，即目标是：线段平行且等于第三边的一半，这就需调用“平行四边形判定与性质”的结构——将中位线问题转化为平行四边形问题；这就是通过倍长中线构造了平行四边形，从而实现“线段关系→四边形关系→线段关系”的结构闭环。

这是问题的“解题逻辑链”，体现知识、方法的迁移。

联结结构的核心是“化归”——将未知问题转化为已知问题：这涉及两个方面，就是知识化归、方法化归。

（1）知识化归，比如解不等式：

联结“对数函数单调性”的结构，将不等式转化为

再利用单调性去对数符号；，当然也不能少了考虑它的定义域。

（2）方法化归：如解分式方程

类比“解整式方程”的移项、通分结构，同时注意分母不为零的限制。

由以上的学习，我们就看到：解题是“识别结构→转化结构→应用结构→反思结构”的循环，核心是结构化思维。

老师在教学中需要去渗透“结构意识”，让学生从“学解题”走向“会解题”。主要可以从三个点上去做：

如函数板块，串联“定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性、极值、最值以及图像等”的结构系统，让学生理解“函数研究的核心是‘变量关系与对应规律’，所有性质服务于‘刻画变化’”；又如几何板块，以“图形的定义→性质→判定→应用”为结构主线，打通知识脉络。

讲例题时，板书“条件结构→目标结构→联结结构→解题路径”的思维可视化过程：

（1）条件结构：标注已知条件的元素、关联（如“AB = AC”隐含“等腰三角形，底角相等”）；

（2）目标结构：明确待求结论的形态、层级（如“证明△ABC ≌ △DEF”需找全等条件）；

（3）联结结构：分析条件与目标的缺口，选择转化工具（如“SSS/SAS/ASA/AAS/HL”）；

（4）解题路径：逐步推导，标注每一步的结构依据。

通过“变条件形式，保结构本质”的变式训练，强化结构迁移能力。

如原题：解方程

变式为：解方程

保留“无理方程→有理方程（平方）→检验增根”的结构；

再例如原题“证明三角形全等”，变式为“证明四边形全等（特殊四边形，如正方形）”，保留“边、角对应相等”的结构逻辑。

数学解题的境界，从“试错蒙对”到“精准打击”，再到“通一类题”，关键在于用结构之眼穿透表象。当学生学会从条件中挖掘“隐性关联”，从目标中明确“结构指向”，从联结中找到“转化路径”，解题便不再是“碰运气”，而是“用结构系统解决问题”的理性过程。

当我们能让学生以结构的角度去观照问题，解题便从“零散试错”转向“系统建构”，实现从“解一题”到“通一类”的跃迁。

皮亚杰的认知结构、弗赖登塔尔的数学结构、波利亚的解题结构，共同指向一个结论：结构化思维，是数学核心素养：逻辑推理、数学建模的落地载体。教师的责任，就是把“结构”种进学生的思维里，学解题的角度可以是多方面的，但是从“结构”来把握数学解题——识别结构的“同构性”，突破表象的“异构性”，让学生掌握“结构分析”的底层逻辑，就能比较好的达成所谓的“授人以渔”的教学理想。

来源：彤茜教育