摘要：①D为动点，AD与BD都是“动线段”（即其长度均不定），直接求比值AD：BD几无可能。最好是能将AD：BD转化另外一组线段比，且需满足：其中一条线段长度确定，另一条线段长度可变化。

图一

点D在等腰直角三角形ABC内，∠BDC=135°，求AD：BD最小值。

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分析：

①D为动点，AD与BD都是“动线段”（即其长度均不定），直接求比值AD：BD几无可能。最好是能将AD：BD转化另外一组线段比，且需满足：其中一条线段长度确定，另一条线段长度可变化。

②线段长度比值转化，常用的工具有：平行线段比、角平分线定理、三角形相似等，但前两者亦属于三角形相似范畴，故势必要构造相似三角形。

提示：三角形相似或切线定理

①作△BCD的外接圆，则∠BDC为弦BC的一侧圆周角，从而弦BC另一侧圆周角为180°-135°=45°，弦BC对应的圆心角为90°，故△BCD外接圆的圆心位于BC的垂直平分线上，且∠BOC=90°，即△BOC为等腰直角三角形。如图二

图二

②又知ABC为等腰三角形，故ACOB必为正方形，从而AB、AC均为△BCD外接圆的切线，且OA垂直BC。

③延长AD与△BCD外接圆相交于点E，由切线定理（或△ABD∽△ABE）可得AD：BD=AB：AE。如图三

图三

④注意到AB的长度固定（等腰直角三角形ABC的直角边、等于外接圆半径BO），求AB：AE的最小值，只需让点E跟随点D运动即可。当∠BDE=90°（即∠CDE=45°）时，BE为直径、其长度最大为2OB=2AB，如图四

图四

此时AD'：BD'=AB：BE'的比值最小、等于1/2。

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来源：琼等闲