场外期权基础知识丨期权定价公式

摘要：在上一篇文章中，我们介绍了对期权价值的定性感知，通过对内在价值和时间价值的分析往往足以形成交易期权的直觉，但倘若投资者需要定量地分析期权的价值，就不得不借助接下来介绍的期权定价公式了。

在上一篇文章中，我们介绍了对期权价值的定性感知，通过对内在价值和时间价值的分析往往足以形成交易期权的直觉，但倘若投资者需要定量地分析期权的价值，就不得不借助接下来介绍的期权定价公式了。

对于大部分参与过期权交易的投资者来说，BS公式绝非一个陌生的名词——这个以其创始人Black和Scholes命名的公式，带动了现代期权市场的蓬勃发展，开启了期权量化的时代。出于投资者教育的目的，本篇文章并不涉及复杂的数学推导，只是讲一讲BS公式的“前世今生”，以及蕴含在公式中的金融思想。

▍BS之前的探索

1900年，Bachelier在描绘股价变动的过程中首次引入随机过程，成为期权定价的开端。Bachelier创造性地完成数学知识与金融理论的结合，以标准布朗运动这一最基本的连续随机模型描绘股价波动，将期权看作布朗运动的相关函数，给出了首个期权定价公式。

布朗运动描述了这样一种随机过程，它的每一步价格变动都服从正态分布。但也正是股价变动的正态分布导致了负股价、股价变化均值为零的不现实结果。

这一问题最终被几何布朗运动的假设所解决。如下图所示，几何布朗运动假定每一步的收益率都服从正态分布，因而使股票价格服从对数正态分布。

在几何布朗运动的假设下，学者们先后提出了一系列期权定价模型，这些模型在形式上与后来的BS公式极为相似，只是多了一些难以量化的参数，比如股价期望收益率、投资者风险厌恶程度等等——这些参数依赖于投资者的偏好或预期，以致带有某种模糊性。

▍BS公式

BS模型摆脱了偏好或预期的窠臼，这正是使其名声大噪的地方。一开始，Fisher Black虽然只给出期权价格满足的偏微分方程，但分析得出期权价格与股票期望收益率并不相关，突破了以往模型的局限。

在Scholes加入后，两人利用热方程成功求解了偏微分方程，得到了以下这个香草看涨期权的定价公式，即大名鼎鼎的BS公式。

Merton在1970年秋天看到Black和Scholes的报告后，立即领会了这项成果的潜力，但Black和Scholes的方法是“凭借直觉”的，并不严密。他认为构造的期权和股票的组合如果能在期权的期限内持续调整证券数量则能避免交易中的所有风险，并指出这个动态调整的组合将获取无风险利率——这就是期权定价中的无套利思想。Merton对这一结论进行了严谨的数学证明，补上了BS模型的最后一块拼图。

BS模型有其众所周知的问题，比如恒定利率、恒定波动率、交易无摩擦、连续交易以及对数正态分布等等，这些假设在现实中都不成立，有些甚至与现实偏差很大。