摘要：在考研数学中，求极限是高等数学的核心考点，贯穿于选择题、填空题、解答题等多种题型，分值占比约 10%-15%，且常与导数、积分、级数等知识点结合考查。对于 2026 考研考生而言，熟练掌握求极限的方法不仅是应对直接命题的关键，更是解决后续复杂题型的基础。以下整

在考研数学中，求极限是高等数学的核心考点，贯穿于选择题、填空题、解答题等多种题型，分值占比约 10%-15%，且常与导数、积分、级数等知识点结合考查。对于 2026 考研考生而言，熟练掌握求极限的方法不仅是应对直接命题的关键，更是解决后续复杂题型的基础。以下整理出求极限的 11 种核心方法，覆盖所有考点，助力考生实现该模块 “不丢分” 的备考目标。

一、代入法：基础题型的 “直接解法”

代入法是求极限最基础、最直接的方法，适用于函数在极限点处连续的情况。其核心原理是：若函数\( f(x) \)在点\( x_0 \)处连续，则\( \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) \)。使用该方法时，只需将极限点的数值直接代入函数表达式，计算出结果即可。

典型例题：求\( \lim_{x \to 2} (x^2 + 3x - 1) \)。由于函数\( f(x) = x^2 + 3x - 1 \)是多项式函数，在全体实数域内连续，将\( x = 2 \)代入得：\( 2^2 + 3 \times 2 - 1 = 4 + 6 - 1 = 9 \)，故极限值为 9。需注意，代入法仅适用于代入后函数有意义的情况，若代入后出现 “\( 0/0 \)”“\( \infty/\infty \)”“\( 0 \times \infty \)” 等未定式，则需采用其他方法。

二、因式分解法：破解 “0/0” 型未定式的关键

当使用代入法后出现 “\( 0/0 \)” 型未定式（即分子分母同时趋近于 0）时，可通过因式分解法消去分子分母中的公因子，将函数转化为可直接代入计算的形式。该方法的核心是利用代数运算拆分分子或分母，消除导致 “0/0” 型的因子。

典型例题：求\( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)。代入\( x = 1 \)后，分子\( 1^2 - 1 = 0 \)，分母\( 1 - 1 = 0 \)，属于 “\( 0/0 \)” 型。对分子进行因式分解：\( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)，消去分子分母的公因子\( x - 1 \)（此时需注意\( x \neq 1 \)，但极限过程是\( x \to 1 \)，不包含\( x = 1 \)，故可消去），得到\( \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \)。

三、有理化法：处理含根式的 “0/0” 或 “∞-∞” 型

当函数表达式中含有根式，且代入后出现 “\( 0/0 \)” 型（分子分母含根式）或 “\( \infty - \infty \)” 型（两个根式相减）时，可通过有理化法消去根式，转化为可计算的形式。对于分子分母含根式的 “\( 0/0 \)” 型，需对分子或分母进行有理化；对于 “\( \infty - \infty \)” 型，需先通分或变形后再有理化。

典型例题 1（“0/0” 型）：求\( \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} \)。分子含根式，代入\( x = 4 \)得 “\( 0/0 \)” 型。对分子有理化，乘以\( \sqrt{x} + 2 \)，分子变为\( (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4 \)，消去分母\( x - 4 \)，得到\( \lim_{x \to 4} \frac{1}{\sqrt{x} + 2} = \frac{1}{\sqrt{4} + 2} = \frac{1}{4} \)。

典型例题 2（“∞-∞” 型）：求\( \lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + x} - x) \)。代入\( x \to +\infty \)得 “\( \infty - \infty \)” 型。先对式子有理化，乘以\( \sqrt{x^2 + x} + x \)，得到\( \lim_{x \to +\infty} \frac{(x^2 + x) - x^2}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} \)，再分子分母同除以\( x \)（\( x > 0 \)），化简为\( \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \frac{1}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{1}{2} \)。

四、等价无穷小替换法：简化计算的 “高效工具”

等价无穷小替换法适用于 “\( 0/0 \)” 型或 “\( 0 \times \infty \)” 型未定式，核心是利用等价无穷小的性质：若\( \alpha(x) \sim \alpha'(x) \)，\( \beta(x) \sim \beta'(x) \)（\( x \to x_0 \)时），且\( \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha'(x)}{\beta'(x)} \)存在，则\( \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{\alpha'(x)}{\beta'(x)} \)。需牢记常见的等价无穷小（\( x \to 0 \)时）：\( \sin x \sim x \)，\( \tan x \sim x \)，\( \arcsin x \sim x \)，\( \arctan x \sim x \)，\( \ln(1 + x) \sim x \)，\( e^x - 1 \sim x \)，\( 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 \)，\( (1 + x)^a - 1 \sim ax \)（\( a \)为常数）。

典型例题：求\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x + \tan x} \)。\( x \to 0 \)时，\( \sin 2x \sim 2x \)，\( \tan x \sim x \)，代入得\( \lim_{x \to 0} \frac{2x}{x + x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x}{2x} = 1 \)。需注意，等价无穷小替换仅适用于分子、分母中的乘积因子或幂次因子，不可用于加减运算中的项，否则会导致错误。

五、洛必达法则：应对 “0/0” 与 “∞/∞” 型的 “通用解法”

洛必达法则是求未定式极限的重要方法，适用于 “\( 0/0 \)” 型或 “\( \infty/\infty \)” 型未定式，且满足一定条件（函数可导、导数比值的极限存在或为无穷大）。其核心步骤是：对分子分母分别求导，再求导数比值的极限，若仍为未定式，可重复使用洛必达法则，直至求出极限。

典型例题 1（“0/0” 型）：求\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \)。代入\( x = 0 \)得 “\( 0/0 \)” 型，且分子分母可导。第一次使用洛必达法则：\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x} \)，仍为 “\( 0/0 \)” 型；第二次使用洛必达法则：\( \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2} \)。

典型例题 2（“∞/∞” 型）：求\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{x^a} \)（\( a > 0 \)）。代入\( x \to +\infty \)得 “\( \infty/\infty \)” 型，使用洛必达法则：\( \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{x}}{a x^{a - 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{a x^a} = 0 \)。需注意，洛必达法则并非万能，若导数比值的极限不存在且不为无穷大，或函数不可导，则不能使用该法则，需换用其他方法。

六、夹逼准则：解决 “数列或函数和式” 极限的 “关键思路”

夹逼准则适用于数列极限或函数极限中，表达式为 “和式”“乘积式” 或难以直接计算的情况，核心原理是：若存在函数（或数列）\( g(x) \)、\( h(x) \)，使得\( g(x) \leq f(x) \leq h(x) \)（\( x \to x_0 \)时），且\( \lim_{x \to x_0} g(x) = \lim_{x \to x_0} h(x) = A \)，则\( \lim_{x \to x_0} f(x) = A \)。使用该准则时，需合理构造\( g(x) \)和\( h(x) \)，使它们的极限易于计算且相等。

典型例题（数列极限）：求\( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \right) \)。数列表达式为\( n \)项和，难以直接求和。构造\( g(n) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} \)（每一项都大于\( \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}} \)，共\( n \)项），\( h(n) = \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} \)（每一项都小于\( \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} \)，共\( n \)项）。计算\( \lim_{n \to \infty} g(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}}} = 1 \)，\( \lim_{n \to \infty} h(n) = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt{n^2 + 1}} = 1 \)。根据夹逼准则，原极限值为 1。

七、单调有界准则：证明数列极限存在的 “核心依据”

单调有界准则仅适用于数列极限，核心原理是：若数列\( \{x_n\} \)单调递增（或递减）且有上界（或下界），则数列\( \{x_n\} \)的极限存在。该准则常与 “递推数列” 结合考查，需先证明数列的单调性和有界性，再设极限值为\( A \)，代入递推公式求解\( A \)。

典型例题：设\( x_1 = 1 \)，\( x_{n + 1} = \sqrt{2 + x_n} \)（\( n = 1, 2, \dots \)），求\( \lim_{n \to \infty} x_n \)。第一步，证明有界性：由\( x_1 = 1 \sqrt{x_n + x_n} = \sqrt{2x_n} \)（因\( x_n 0 \)，故数列各项均为正，

有下界 0。第二步，证明单调性：\( x_{n + 1} - x_n = \sqrt{2 + x_n} - x_n = \frac{2 + x_n - x_n^2}{\sqrt{2 + x_n} + x_n} = \frac{-(x_n^2 - x_n - 2)}{\sqrt{2 + x_n} + x_n} = \frac{-(x_n - 2)(x_n + 1)}{\sqrt{2 + x_n} + x_n} \)。因\( x_n 0 \)，故分子为正，分母为正，即\( x_{n + 1} - x_n > 0 \)，数列单调递增。第三步，求极限：设\( \lim_{n \to \infty} x_n = A \)，对递推公式两边取极限得\( A = \sqrt{2 + A} \)，平方得\( A^2 - A - 2 = 0 \)，解得\( A = 2 \)或\( A = -1 \)（舍去负根），故极限值为 2。

八、定积分定义法：将 “和式极限” 转化为 “定积分”

定积分定义法适用于数列极限中，表达式为 “\( \sum_{k = 1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \cdot \frac{1}{n} \)” 或类似形式的和式极限，核心原理是利用定积分的定义：\( \int_a^b f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n f\left( a + \frac{k(b - a)}{n} \right) \cdot \frac{b - a}{n} \)，当\( a = 0 \)，\( b = 1 \)时，简化为\( \int_0^1 f(x) dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \cdot \frac{1}{n} \)。

典型例题：求\( \lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^n \frac{1}{n} \cdot \sin\left( \frac{k\pi}{n} \right) \)。观察和式结构，符合\( \sum_{k = 1}^n f\left( \frac{k}{n} \right) \cdot \frac{1}{n} \)的形式，其中\( f\left( \frac{k}{n} \right) = \sin\left( \pi \cdot \frac{k}{n} \right) \)，故\( f(x) = \sin(\pi x) \)。根据定积分定义，原极限等于\( \int_0^1 \sin(\pi x) dx \)。计算定积分：\( \int_0^1 \sin(\pi x) dx = \left. -\frac{1}{\pi} \cos(\pi x) \right|_0^1 = -\frac{1}{\pi} \cos(\pi) + \frac{1}{\pi} \cos(0) = -\frac{1}{\pi} (-1) + \frac{1}{\pi} \times 1 = \frac{2}{\pi} \)。

九、泰勒公式法：处理 “复杂函数” 极限的 “精准手段”

泰勒公式法适用于函数表达式含指数函数、对数函数、三角函数等复杂函数，且代入后为未定式的情况，核心是将函数展开为泰勒多项式（麦克劳林公式，当\( x_0 = 0 \)时），消去高阶无穷小，简化计算。常用的麦克劳林展开式（\( x \to 0 \)时）：\( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + o(x^3) \)，( \ln(1 + x) = x\(-\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots + (-1)^{n + 1}\frac{x^n}{n} + o(x^n)\)，\(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots + (-1)^{n}\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!} + o(x^{2n + 1})\)，\(\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \dots + (-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!} + o(x^{2n})\)。

典型例题：求\(\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \sin x - 1}{x^2}\)。\(x \to 0\)时，代入得 “\(0/0\)” 型，且函数含\(e^x\)与\(\sin x\)，适合用泰勒公式法。将\(e^x\)展开至\(x^2\)项：\(e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\)；将\(\sin x\)展开至\(x^2\)项（因分母为\(x^2\)，高阶无穷小可忽略）：\(\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3) = x + o(x^2)\)。代入原式得：\(\lim_{x \to 0} \frac{[1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)] - [x + o(x^2)] - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2} + o(x^2)}{x^2} = \frac{1}{2}\)。需注意，泰勒公式展开的阶数需与分母的最高次幂一致，确保高阶无穷小在计算中可忽略，避免展开不足或过度导致错误。

十、利用重要极限公式：快速求解特定形式极限

考研数学中常用的重要极限公式有两个，分别是：1. \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)；2. \(\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e\)（或等价形式\(\lim_{t \to 0} (1 + t)^{\frac{1}{t}} = e\)）。这两个公式适用于特定形式的极限，通过变形将所求极限转化为重要极限的标准形式，即可快速得出结果。

（一）第一重要极限\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\)

该极限的核心特征是 “\(\frac{\sin \text{（无穷小量）}}{\text{（同一无穷小量）}}\)”，当\(x \to x_0\)时，若\(\alpha(x) \to 0\)，则\(\lim_{x \to x_0} \frac{\sin \alpha(x)}{\alpha(x)} = 1\)。

典型例题：求\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 2x}\)。先将\(\tan 2x\)转化为\(\frac{\sin 2x}{\cos 2x}\)，原式变为\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x \cdot \cos 2x}{\sin 2x}\)。拆分后为\(\lim_{x \to 0} \cos 2x \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}\)。其中\(\lim_{x \to 0} \cos 2x = \cos 0 = 1\)；对\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\sin 2x}\)变形，分子分母分别乘以\(3x\)和\(2x\)，得\(\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} \cdot \frac{2x}{\sin 2x} \cdot \frac{3x}{2x} = 1 \times 1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\)。故原式极限值为\(1 \times \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\)。

（二）第二重要极限\(\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e\)

该极限的核心特征是 “\((1 + \text{（无穷小量）})^{\frac{1}{\text{（同一无穷小量）}}}\)”，当\(x \to x_0\)时，若\(\beta(x) \to 0\)，则\(\lim_{x \to x_0} (1 + \beta(x))^{\frac{1}{\beta(x)}} = e\)；若\(\gamma(x) \to \infty\)，则\(\lim_{x \to x_0} \left( 1 + \frac{1}{\gamma(x)} \right)^{\gamma(x)} = e\)。

典型例题：求\(\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{x} \right)^{3x}\)。令\(t = -\frac{x}{2}\)，则当\(x \to \infty\)时，\(t \to \infty\)，且\(x = -2t\)。代入原式得\(\lim_{t \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^{3 \times (-2t)} = \lim_{t \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{1}{t} \right)^t \right]^{-6} = e^{-6}\)。也可直接变形：\(\lim_{x \to \infty} \left( 1 - \frac{2}{x} \right)^{3x} = \lim_{x \to \infty} \left[ \left( 1 + \frac{-2}{x} \right)^{\frac{x}{-2}} \right]^{-6} = e^{-6}\)，两种方法均遵循 “凑出重要极限标准形式” 的思路。

十一、利用函数的连续性与极限运算法则：结合基础方法求解

函数的连续性与极限运算法则是求极限的基础支撑，常与其他方法结合使用。极限运算法则包括：1. 若\(\lim f(x) = A\)，\(\lim g(x) = B\)，则\(\lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B\)；2. \(\lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B\)；3. 若\(B \neq 0\)，则\(\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}\)。结合函数连续性（如基本初等函数在定义域内连续），可对复杂极限进行拆分、化简，逐步求解。

典型例题：求\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \cdot \cos(x + 1)\)。首先，由极限乘法法则，原式可拆分为\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \cdot \lim_{x \to 1} \cos(x + 1)\)。根据前文 “因式分解法”，\(\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2\)；又因\(\cos(x + 1)\)是基本初等函数，在\(x = 1\)处连续，故\(\lim_{x \to 1} \cos(x + 1) = \cos(1 + 1) = \cos 2\)。因此，原式极限值为\(2 \times \cos 2\)。

需注意，使用极限运算法则的前提是 “各部分极限均存在”（除法法则还需分母极限不为 0），若某部分极限不存在，则不能直接拆分。例如\(\lim_{x \to \infty} \frac{x + \sin x}{x}\)，不可拆分为\(\lim_{x \to \infty} \frac{x}{x} + \lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}\)（虽然后者极限存在，但需先确认拆分合理性），实际应先化简为\(\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{\sin x}{x} \right)\)，再利用\(\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x} = 0\)（有界函数乘以无穷小量仍为无穷小量），得出极限值为 1。

总结：11 种方法的适用场景与选择策略

求极限的 11 种方法各有适用场景，2026 考研考生在备考中需明确不同方法的核心特征与适用范围，根据极限的具体形式选择最优解法：

若函数在极限点连续，优先用代入法；

出现 “\(0/0\)” 型且含多项式因子，用因式分解法；含根式，用有理化法；

“\(0/0\)” 或 “\(0 \times \infty\)” 型且含三角函数、指数函数等，优先用等价无穷小替换法（简化计算），替换后仍为未定式可结合洛必达法则；

“\(0/0\)” 或 “\(\infty/\infty\)” 型且函数可导，用洛必达法则（注意避免滥用）；

数列和式、乘积式极限，用夹逼准则；递推数列极限，用单调有界准则；

数列和式符合 “\(\sum_{k=1}^n f(\frac{k}{n}) \cdot \frac{1}{n}\)” 形式，用定积分定义法；

含复杂函数（指数、对数、三角）的未定式，用泰勒公式法（需注意展开阶数）；

极限形式符合重要极限特征，用重要极限公式；

复杂极限需拆分、化简，结合函数连续性与极限运算法则。

通过针对性练习，熟练掌握每种方法的操作步骤与注意事项，能有效提升求极限的准确率与效率，助力 2026 考研考生在数学科目中实现 “不丢分” 目标，为整体成绩提升奠定坚实基础。（本文来源于西安寄宿考研自习室原创和网络整理，如有侵权请联系南极光寄宿考研考公封闭基地）

来源：西安南极光